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Zyklische Zahl


Eine zyklische Zahl (auch: Phönixzahl[1][2]) ist eine [math]n[/math]-stellige natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft: Wird diese Zahl mit einer natürlichen Zahl von 1 bis [math]n[/math] multipliziert, so enthält das Produkt die gleichen Ziffern wie die Ausgangszahl in derselben zyklischen Reihenfolge.

Die kleinste nichttriviale zyklische Zahl ist die 142857:

[math] 1 \cdot 142.857 = 142.857 [/math]
[math] 2 \cdot 142.857 = 285.714 [/math]
[math] 3 \cdot 142.857 = 428.571 [/math]
[math] 4 \cdot 142.857 = 571.428 [/math]
[math] 5 \cdot 142.857 = 714.285 [/math]
[math] 6 \cdot 142.857 = 857.142 [/math]
[math] 7 \cdot 142.857 = 999.999 [/math]

Generierung

Leonard E. Dickson fand heraus, dass alle zyklischen Zahlen Perioden von periodischen Zahlen sind, die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann. So ist der Kehrwert von 7 gleich 0,142857142857… und enthält genau die erste zyklische Zahl als Periode: [math]\scriptstyle \overline{142857}[/math]. Solche Zahlen, die Perioden einer zyklischen Zahl erzeugen, werden auch Generatorzahlen genannt:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313 … (Folge A001913 in OEIS )

Bedingung ist, dass die Primzahlen [math]p[/math] die Zahlenbasis, z. B. 10, nicht teilen und dass es für sie kein natürliches [math]n\ltp-1[/math] gibt, sodass [math]10^n\equiv 1\pmod p[/math].[3]

Die 486-stellige zyklische Zahl, die bei 487 entsteht, ist (bisher) die einzige, die selber durch ihre Generatorzahl teilbar ist. Damit hat die Periode vom [math]\frac 1{487^2}[/math] auch nur so viele Stellen wie die von [math]\frac 1{487}[/math], eben 486 und nicht die sonst zu erwartenden 486 × 487 = 236682. Dementsprechend erscheint auch bei der Primfaktorzerlegung der Zahl mit 486 Neunen bzw. Einsen (Repunitzahl) der Faktor 487 im Quadrat.[4]

Werte

Triviale zyklische Zahlen sind die Zahlen von 0 bis 9. Die ersten nicht-trivialen zyklischen Zahlen sind:

  1. 142857   (6-stellig, erzeugt aus 1/7)
  2. 0588235294117647   (16-stellig, erzeugt aus 1/17)
  3. 052631578947368421   (18-stellig, erzeugt aus 1/19)
  4. 0434782608695652173913   (22-stellig, erzeugt aus 1/23)
  5. 0344827586206896551724137931   (28-stellig, erzeugt aus 1/29)

Eigenschaften

  • Jede Zyklische Zahl ist durch 9 teilbar, z. B. 142857 / 9 = 15873.
  • Multiplikation mit der Generatorzahl ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142857 × 7 = 999999.
  • Gruppenweises Summieren ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 14 + 28 + 57 = 99 und 142 + 857 = 999 (Midy's Theorem[5])
  • Der Anteil der zyklischen Zahlen an der Menge aller Primzahlen ist die Artin-Konstante C = 0,3739558136192… (Folge A005596 in OEIS )

Andere Zahlenbasen

Zyklische Zahlen lassen sich in fast allen Zahlensystemen bilden, sofern deren Zahlenbasis keine Quadratzahl ist; im Quaternärsystem (Basis 4 = 2²) oder im Hexadezimalsystem (Basis 16 = 4²) gibt es daher keine zyklischen Zahlen.

Beispiel: Zyklische Zahl im Binärsystem

  1. 0001011101 × 0001 = 0001011101
  2. 0001011101 × 0010 = 0010111010
  3. 0001011101 × 0011 = 0100010111
  4. 0001011101 × 0100 = 0101110100
  5. 0001011101 × 0101 = 0111010001
  6. 0001011101 × 0110 = 1000101110
  7. 0001011101 × 0111 = 1010001011
  8. 0001011101 × 1000 = 1011101000
  9. 0001011101 × 1001 = 1101000101
  10. 0001011101 × 1010 = 1110100010
  11. 0001011101 × 1011 = 1111111111

Literatur

  • Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
  • Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Washington 1932 (3 Bde.)

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Endre Hódi (Hrsg.): Mathematisches Mosaik, Urania, Leipzig 1977
  2. Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
  3. Eric W. Weisstein: Full Reptend Prime . In: MathWorld (englisch).
  4. Factorizations of 11…11 (Repunit). (Memento vom 12. November 2013 im Internet Archive)
  5. Eric W. Weisstein: Midy's Theorem . In: MathWorld (englisch).

Kategorien: Zahlentheorie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische Zahl (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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