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Zwischenwertsatz


In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich stetiger Funktionen.

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion [math]f[/math], die auf einem abgeschlossenen Intervall [math][a,b][/math] stetig ist, jeden Wert zwischen [math]f(a)[/math] und [math]f(b)[/math] annimmt. Haben insbesondere [math]f(a)[/math] und [math]f(b)[/math] verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von [math]f[/math] im abgeschlossenen Intervall [math][a,b][/math]. Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.

Satz

Es sei [math]f: [a,b] \to \R[/math] eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem [math]u\in [f(a), f(b)][/math] (falls [math]f(a)\leq f(b)[/math]) bzw. [math]u\in [f(b), f(a)][/math] (falls [math]f(b)\lt f(a)[/math]) ein [math]c\in [a,b][/math] mit [math]f\left(c\right)=u[/math]. Anders formuliert bedeutet dies mit [math]m:=\min\{f(a),f(b)\}[/math] und [math]M:=\max\{f(a),f(b)\}[/math], dass [math][m,M]\,\subseteq\,f([a,b])[/math].

Beweis

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte [math]f(a)\ltf(b)[/math] und es sei [math]u\in [f(a), f(b)][/math].

Die Funktion

[math] g\colon [a,b] \to \R,\quad x\mapsto g(x)=f(x) - u [/math]

ist stetig auf [math][a,\,b][/math] und es gilt [math]g(a)\ltg(b)[/math] sowie [math]g(a)\leq 0\leq g(b)[/math]. Durch Bisektion wird ein Punkt [math]c\in [a,\,b][/math] mit [math]g(c)=0[/math] konstruiert. Für diesen gilt dann [math]f(c)=u[/math].

Dazu sei [math][a_k,\,b_k],\; k \in \N[/math] mit [math]a_1:=a,\; b_1:=b[/math] eine Intervallschachtelung. Für jedes [math]k \in \N[/math] sei [math]c_k=\frac{a_k + b_k}{2}[/math] der Mittelpunkt des [math]k[/math]-ten Intervalls. Mit diesem sei das nächste, verkleinerte Intervall

[math] [a_{k+1},\,b_{k+1}] = \begin{cases} \left[c_k,\, b_k\right] & \mbox{falls } g(c_k) \lt 0\\ \left[a_k,\, c_k\right] & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]

konstruiert.

Falls [math]g(c_k)=0[/math] gilt, ist [math]c = c_k[/math] schon der gesuchte Punkt, und man kann die Folgen der [math]a_n,\,b_n[/math] konstant mit dem Wert [math]c[/math] fortsetzen. Ansonsten wird das neue Intervall weiter verkleinert.

Bricht die Konstruktion nicht nach endlich vielen Schritten ab, so gibt es nach dem Intervallschachtelungsprinzip eine gemeinsame Zahl [math]c\in [a,b][/math] in allen Intervallen, [math]\bigcap_{k \in \N} [a_k, b_k] = \{ c \}[/math].

Offensichtlich ist [math]a_k[/math] monoton steigend und nach oben beschränkt und [math]b_k[/math] monoton fallend und nach unten beschränkt, beide Folgen haben den gemeinsamen Grenzwert [math]c[/math].

Aus der Stetigkeit von [math]g[/math] im Punkt [math]c[/math] folgt

[math]\lim_{k \to \infty}g(a_k) = g(c) = \lim_{k \to \infty}g(b_k)[/math].

Wegen [math]g(a_k)\leq 0[/math] für alle [math]k\in\N[/math] gilt auch [math]g(c)\leq 0[/math], und wegen [math]g(b_k)\geq 0[/math] folgt analog [math]g(c)\geq 0[/math]. Damit ist [math]g(c) = 0[/math] bewiesen.

Beispiel

Die Kosinus-Funktion [math]\cos\left(x\right)[/math] ist im Intervall [math][0,2][/math] stetig, es ist [math]\cos\left(0\right)=1[/math] und [math]\cos\left(2\right) \approx -0{,}4161 \lt 0[/math]. Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Kosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall [math]]0,2[[/math] hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, die den Wert [math]\tfrac \pi 2[/math] hat.

Verallgemeinerung

Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der Topologie: Das Bild einer zusammenhängenden Teilmenge eines topologischen Raumes bezüglich einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend.

Um daraus wieder den Zwischenwertsatz zu erhalten, benötigt man noch die Aussage, dass eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist (jeglicher Art, d. h. beschränkt oder unbeschränkt; offen, halboffen oder abgeschlossen).

Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux)

Eine zum obigen Zwischenwertsatz analoge Aussage gilt für Ableitungsfunktionen:[1][2]

Ist [math]f\colon [a,b] \to \R[/math] eine auf dem Intervall [math][a,b] \subseteq \R [/math] definierte differenzierbare Funktion mit [math]f'(a) \neq f'(b)[/math], so nimmt die Ableitungsfunktion [math]f'[/math] jeden Wert zwischen [math]f'(a)[/math] und [math]f'(b)[/math] an.

Man beachte, dass dies auch gilt, wenn die Ableitungsfunktion nicht stetig ist.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Fichtenholz, S. 206
  2. Köhler, S. 196

Kategorien: Analysis | Satz (Mathematik)

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