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Zwangsbedingung


Als Zwangsbedingung wird in der analytischen Mechanik eine Einschränkung der Bewegungsfreiheit eines Ein- oder Mehrkörpersystems bezeichnet, anders gesagt eine Bewegungsbeschränkung. Dadurch nimmt die Anzahl der Freiheitsgrade eines Systems ab. Werden zu viele Zwangsbedingungen gestellt, so kann es passieren, dass keine physikalische Lösung existiert.

Die Lagrangesche und die Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik oder das D’Alembertsche Prinzip sind besonders dazu geeignet, Systeme mit Zwangsbedingungen zu beschreiben.

Unterscheidung bez. Integrabilität

Im Folgenden wird stets ein [math]N[/math]-Teilchensystem in 3 Raumdimensionen betrachtet. Ohne Zwangsbedingungen bräuchte man für den Ortsvektor jedes Teilchen 3 Raumkoordinaten, somit insgesamt [math]3N[/math] Raumkoordinaten, um das gesamte System zu beschreiben. Diese Koordinaten werden fortlaufend durchnummeriert:

[math]\begin{array}{l} \vec{r}_{1}=(x_{1},x_{2},x_{3}) \\ \vec{r}_{2}=(x_{4},x_{5},x_{6}) \\ \vdots \\ \vec{r}_{N}=(x_{3N-2},x_{3N-1},x_{3N}) \end{array}[/math]

Holonome Zwangsbedingungen

Holonome Zwangsbedingungen können als Gleichungen zwischen den Koordinaten [math]x_i[/math] des Systems formuliert werden ([math]s[/math] holonome Zwangsbedingungen):

[math]f_{l}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{3N}, t) = 0, \quad l = 1, \ldots, s[/math]

Die [math]3N[/math] Koordinaten lassen sich mit [math]s[/math] unabhängigen holonomen Zwangsbedingungen auf [math]n = 3N - s[/math] unabhängige generalisierte Koordinaten [math]q_i[/math] reduzieren, die automatisch die Zwangsbedingungen erfüllen müssen:

[math]x_i = x_i(q_1, q_2, \ldots, q_n, t), \quad i = 1, \ldots, 3N, n = 3N - s[/math]

Holonome Zwangsbedingungen sind mit dem vollständigen Differential einer Funktion darstellbar:

[math]\begin{align} \frac{\partial f_{l}}{\partial x_{1}} \mathrm{d}x_{1} + \frac{\partial f_{l}}{\partial x_{2}} \mathrm{d}x_{2} + \ldots + \frac{\partial f_{l}}{\partial x_{3N}} \mathrm{d}x_{3N} + \frac{\partial f_{l}}{\partial t} \mathrm{d}t & = 0\\ \Leftrightarrow a_{l1} \cdot \mathrm{d}x_{1} + a_{l2} \cdot \mathrm{d}x_{2} + \ldots + a_{l,3N} \cdot \mathrm{d}x_{3N} + a_{lt} \cdot \mathrm{d}t & = 0 \end{align}[/math]

und somit integrierbar.

Denn notwendig für die Integrabilität ist, dass die Koeffizientenfunktionen [math]a_{li}[/math] folgende Integrabilitätsbedingung erfüllen:

[math]\begin{align} \frac{\partial a_{li}}{\partial x_{k}} & = \frac{\partial a_{lk}}{\partial x_{i}}\\ \Leftrightarrow \frac{\partial^{2}f_{l}}{\partial x_{i} \cdot \partial x_{k}} & = \frac{\partial^{2}f_{l}}{\partial x_{k} \cdot \partial x_{i}} \quad\quad i,k \in \{ 1, \ldots, 3N \}, \end{align}[/math]

was bei holonomen Bedingungen automatisch gegeben ist ([math]f_l[/math] zweimal stetig differenzierbar, siehe Satz von Schwarz).

Anholonome Zwangsbedingungen

Nicht-holonome oder auch anholonome Zwangsbedingungen können nicht als Gleichungen zwischen den Koordinaten formuliert werden. Die generalisierten Koordinaten, die in solchen anholonomen Zwangsbedingungen erscheinen, sind i. A. nicht unabhängig voneinander variierbar.

Es handelt sich z.B. um Ungleichungen, wie Beschränkungen auf einen bestimmten Raumbereich:

[math] \,f(q_1, q_2, \ldots, q_n, t) \gt 0[/math]

oder um differentielle, nicht-integrable Zwangsbedingungen, wie Gleichungen zwischen den Geschwindigkeiten (Bsp. für [math]r[/math] anholonome Zwangsbedingungen):

[math]\sum_{i}a_{li} \cdot \mathrm{d}q_{i} + a_{lt} \cdot \mathrm{d}t = 0\ ,\quad l = 1, \ldots ,r[/math]

Nicht-integrabel heißt dabei, dass die Gleichung - anders als bei holonomen Zwangsbedingungen - nicht als vollständiges Differential einer Funktion darstellbar ist. Somit wird hier die Integrabilitätsbedingung von den Koeffizientenfunktionen nicht erfüllt:

[math]\frac{\partial a_{li}}{\partial q_k} \neq \frac{\partial a_{lk}}{\partial q_i} \quad\quad i,k \in \{ 1, \ldots ,n \}[/math]

Unterscheidung bez. Zeitabhängigkeit

Weiterhin werden Zwangsbedingungen bez. ihrer Zeitabhängigkeit unterschieden in:

  • rheonom (fließend), wenn sie explizit von der Zeit abhängen.
  • skleronom (starr), wenn sie nicht explizit von der Zeit abhängen.

Skleronome Zwangsbedingungen führen bei Anwendung des Lagrang'schen Formalismus in der Regel zu der Feststellung, dass das Potential nicht implizit von der Zeit abhängt. Ist das Potential nun auch nicht explizit zeitabhängig, so sind die Kräfte konservativ und die Energie ist erhalten. In diesem Fall ist die Hamiltonfunktion – die Legendre-Transformierte der Lagrangefunktion – gleich der Gesamtenergie.

Dagegen lassen holonom-rheonome Zwangsbedingungen nicht direkt den Schluss auf eine Nicht-Erhaltung der Energie zu.

Beispiele

Das Pendel

Der Stab eines Pendels soll stets die gleiche Länge [math]l[/math] besitzen, muss also aufgrund des Satzes von Pythagoras folgende Zwangsbedingung erfüllen:

[math]x^2+y^2-l^2 = 0[/math].

Dabei bildet der Auslenkungswinkel, von dem die Koordinaten x und y des Kugelmittelpunktes abhängen, die generalisierte Koordinate. Dies ist ein Beispiel für eine holonome Zwangsbedingung und, da sie nicht explizit von der Zeit abhängt, für eine skleronome Zwangsbedingung.

Teilchen in Kugel

Ein Teilchen sei in einer Kugel eingesperrt. Das bedeutet mathematisch, dass die Entfernung des Teilchens vom Mittelpunkt der Kugel (Koordinatenursprung) stets kleiner sein muss als der Radius R der Kugel:

[math]\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \lt R[/math]
[math]\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 \lt R^2[/math].

Da diese Zwangsbedingung aus einer Ungleichung besteht, ist sie nichtholonom.

Literatur

Siehe auch


Kategorien: Klassische Mechanik

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