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Zufallslandschaft


Eine Zufallslandschaft bezeichnet in der Mathematik eine Wertelandschaft, die jedem Ort der Wertelandschaft eine Zufallszahl zuordnet. Häufig ist die Nachbarschaftsfunktion der Zufallslandschaft so definiert, dass für jeden Punkt [math]x[/math] der Zufallslandschaft alle diejenigen Punkte als Nachbar gelten, deren binäre Repräsentation eine Hamming-Distanz von 1 zur binären Repräsentation von [math]x[/math] aufweist.

Zufallslandschaften haben die Eigenschaft, an ihren Orten keinerlei Aussage über die Höhe von Nachbarorten zuzulassen. Damit sind sie für viele Optimierungsverfahren der Worst-case, denn die meisten Optimierungsverfahren bauen auf die Redundanz, die Orte gegenüber ihren Nachbarorten üblicherweise haben.

Beispiel

  • Wir wählen ein [math]n \in \mathbb{N}[/math].
  • [math]D=\left\{0,1\right\}^n[/math]
  • Wir definieren [math]\forall \left(x \in D \right)\colon \left( f\left( x \right):= \operatorname{random} \left( \right)\right)[/math]
  • Wir definieren [math]\forall \left(x \in D \right)\colon \left( \operatorname{nachbarn} \left( x \right) = \left\{ d \vert \left( d \in D\right) \and \left( \operatorname{hammingDistance} \left( d,x \right) = 1 \right) \right\}\right)[/math]

Für eine so generierte Zufallslandschaft gilt:

  • Jeder Punkt aus [math]D[/math] hat [math]n[/math] Nachbarn.
  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Punkt aus [math]D[/math], lokales Maximum bezüglich [math]f[/math] zu sein, ist [math]\tfrac {1}{n+1}[/math].
  • Damit gibt es etwa [math]\tfrac {2^n}{n+1}[/math] lokale Maxima.
  • Die durchschnittliche Schrittanzahl, bis ein lokales Maximum mittels Bergsteigeralgorithmus (hill climbing) gefunden wurde, ist [math]\ln (n)[/math].

Kategorien: Optimierung

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallslandschaft (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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