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Zerfallsgesetz


Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl N der zu einem Zeitpunkt t noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt

[math]N(t)= N_0 \cdot \mathrm e^{-\lambda t}[/math]

wobei N0 die Anzahl der am Anfang (t = 0) vorhandenen Atomkerne und [math]\lambda[/math] die Zerfallskonstante des betreffenden Nuklids ist.

Herleitung

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich [math]N_0[/math] Atomkernen und der Aktivität [math]A[/math], so gilt für die Anzahl [math]N[/math] der in der Zeit [math]t[/math] noch nicht zerfallenen Kerne:

[math] \begin{align} A &= - \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t} \qquad \text{mit } A = \lambda \cdot N\\ -\lambda \cdot N &= \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}\\ -\lambda \cdot \mathrm d t&=\frac{1}{N} \cdot \mathrm d N\\ \int_0^t -\lambda \cdot \mathrm dt'&=\int_{N_0}^N\frac{1}{N'} \cdot \mathrm dN'\\ -\lambda t - (-\lambda \cdot 0) &= \ln(N)-\ln(N_0)\\ -\lambda t &=\ln\left(\frac{N}{N_0}\right)\\ \mathrm e^{-\lambda t} &= \frac{N}{N_0}\\ N(t)&= N_0 \cdot \mathrm e^{-\lambda t} \end{align} [/math]

Nach der Zeit [math]t[/math] sind also von [math]N_0[/math] Ausgangskernen noch [math]N(t)[/math] übrig.

Mittlere Lebensdauer

Die Zerfallskonstante [math]\lambda[/math] (Lambda) ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer [math]\tau = 1/\lambda[/math], also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor e = 2,71828... verringert hat. [math]\tau [/math] (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit [math]T_{1/2}[/math] nur um den konstanten Faktor ln 2:

[math]T_{1/2} = \frac {\ln 2}{\lambda} = \tau \cdot \ln 2 \approx 0{,}693 \cdot \tau [/math]

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

[math] N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} [/math]

Weblinks


Kategorien: Kernphysik

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