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Zellkomplex


Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.[1]

Definition

Eine [math]k[/math]-Zelle ist ein topologischer Raum, der zu [math]B^k:=[0,1]^k[/math] homöomorph ist. Eine offene [math]k[/math]-Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von [math]B^k[/math] homöomorph ist. [math]k[/math] nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum [math]X[/math], der in offene Zellen [math](c_i)_{i \in I}[/math] zerfällt, wobei gilt:

  1. zu jeder [math]k[/math]-Zelle [math]c_i \subseteq X[/math] existiert eine stetige Abbildung [math]f_i: B^k \rightarrow X[/math] so dass das Innere von [math]B^k[/math] homöomorph auf [math]c_i[/math] und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension [math]\ltk[/math] abgebildet wird. ([math]f_i[/math] heißt die charakteristische Abbildung der Zelle [math]c_i[/math].)
  2. [math]M \subseteq X[/math] ist genau dann abgeschlossen, wenn [math]M \cap f_i(B^k)[/math] für alle [math]i \in I[/math] abgeschlossen ist.

Eigenschaften

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

Beispiele

  • Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
  • [math]\mathbb{R}[/math] ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen [math]c_i = (i, i+1)[/math] und die charakteristischen Abbildungen [math]f_i: [0, 1] \to \mathbb{R}, x \mapsto i+x[/math].

Zelluläre Abbildungen

Das [math]n[/math]-Skelett [math]K_n[/math] eines CW-Komplexes [math]K[/math] ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension [math]\le n[/math].

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung [math]f\colon K\to L[/math], die jede [math]n[/math]-Zelle von [math]K[/math] in das [math]n[/math]-Skelett von [math]L[/math] abbildet. (Dabei müssen [math]n[/math]-Zellen nicht notwendig auf [math]n[/math]-Zellen abgebildet werden.)

Literatur

Einzelnachweise

  1. J. H. C. Whitehead: Combinatorial homotopy, Bull. Amer. Math. Soc., Band 55, 1949, 213–245 (Teil 1), S. 453–496 (Teil 2)

Kategorien: Algebraische Topologie | Homologische Algebra

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