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Wishart-Verteilung


Die Wishart-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist die multivariate Entsprechung der χ2-Verteilung.

Für die Erläuterung wird zum besseren Verständnis zunächst von einer Zufallsvariablen ausgegangen: Man betrachtet eine standardnormalverteilte Zufallsvariable X, also mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1. Es liegen von dieser Variablen n Beobachtungen oder Realisationen xi (i=1, ... , n) vor. Da die Realisationen unabhängig voneinander stattfinden, interpretiert man sie als eine Folge von n standardnormalverteilten Zufallsvariablen Xi. Die Quadratsumme dieser Zufallsvariablen

[math]Y = \sum_{i=1}^n X_i^2[/math]

ist dann χ2-verteilt mit n Freiheitsgraden. Fasst man die Beobachtungen xi in einem Vektor x mit n Elementen zusammen, kann man auch y darstellen als die Norm

[math]y = \underline x^T \underline x[/math],

wobei xT ein Zeilenvektor ist.

Es werden nun p viele verschiedene Zufallsvariablen Xj betrachtet. Diese Zufallsvariablen sind gemeinsam normalverteilt mit dem Erwartungswert 0 und der Kovarianz-Matrix Σ. Es liegen für jede Zufallsvariable jeweils n viele Beobachtungen vor. Man kann nun diese Daten in einer (nxp)-Matrix X zusammenfassen:

[math]\underline X= \begin{pmatrix} x_{11}& x_{12}& \cdots &x_{1j}&\cdots &x_{1p}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots &x_{2j}&\cdots &x_{2p}\\ \vdots& & & & &\vdots \\ x_{i1}& x_{i2}& \cdots &x_{ij}&\cdots &x_{ip}\\ \vdots& & & & &\vdots \\ x_{n1}& x_{n2}& \cdots &x_{nj}&\cdots &x_{np} \end{pmatrix} [/math].

Analog zu oben bildet man die symmetrische Matrix [math]\underline W = \underline X^T\underline X[/math] mit den Elementen

[math]\underline W= \begin{pmatrix} \underline x_{1}^T \underline x_{1} & \underline x_{1}^T \underline x_{2}& \cdots & \underline x_{1}^T \underline x_{j}&\cdots & \underline x_{1}^T \underline x_{p}\\ \underline x_{2}^T \underline x_{1}& \underline x_{2}^T \underline x_{2}& \cdots & \underline x_{2}^T \underline x_{j}&\cdots & \underline x_{2}^T \underline x_{p}\\ \vdots& & & & &\vdots \\ \underline x_{j}^T \underline x_{1}& \underline x_{j}^T \underline x_{2}& \cdots & \underline x_{j}^T \underline x_{j}&\cdots & \underline x_{j}^T \underline x_{p}\\ \vdots& & & & &\vdots \\ \underline x_{p}^T \underline x_{1}& \underline x_{p}^T \underline x_{2}& \cdots & \underline x_{p}^T \underline x_{j}&\cdots & \underline x_{p}^T \underline x_{p} \end{pmatrix} [/math].

Diese Matrix W ist nun Wishart-verteilt mit n Freiheitsgraden.

Eigenschaften der Wishart-Verteilung

Wie die χ2-Verteilung ist auch die Wishart-Verteilung reproduktiv: Die Summe von p Wishart-verteilten Zufallsvariablen mit n Freiheitsgraden und p Zufallsvariablen mit m Freiheitsgraden ist wieder insgesamt Wishart-verteilt mit m+n Freiheitsgraden.

Weblinks

Literatur


Kategorien: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Wishart-Verteilung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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