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Windschiefe


In der Geometrie nennt man zwei Geraden windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.[1] Dies ist erst im dreidimensionalen Raum möglich.

Zum Nachweis, dass zwei Geraden [math]g[/math] und [math]h[/math] windschief sind, genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von [math]g[/math], ein Richtungsvektor von [math]h[/math] und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf [math]g[/math] zu einem Punkt auf [math]h[/math] linear unabhängig sind. Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.

Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden

Die eindeutig bestimmte Strecke kleinster Länge, die zwei windschiefe Geraden [math]g[/math] und [math]h[/math] verbindet, nennt man Gemeinlot der beiden Geraden. Die Gerade, auf der das Gemeinlot liegt, nennt man die Minimaltransversale der beiden Geraden. Diese ist diejenige eindeutig bestimmte Gerade, welche im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Die Länge des Gemeinlots von [math]g[/math] und [math]h[/math] ist der Abstand [math]d = d(g,h)[/math] der beiden Geraden.

Gegeben seien die windschiefen Geraden [math]g[/math] und [math]h[/math] mit den Stützpunkten [math]A[/math] und [math]B[/math] bzw. den Stützvektoren [math]\vec a = \overrightarrow{OA},\;\vec b = \overrightarrow{OB}[/math] und den Richtungsvektoren [math]\vec v[/math] und [math]\vec w[/math]. Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen

[math]g\colon \vec x = \vec a + r \vec v[/math]
[math]h\colon \vec x = \vec b + s \vec w \ \ \, r,s \in \R[/math],

wobei [math]\vec a,\,\vec b,\,\vec v,\,\vec w \in \R^3[/math] gilt und die drei Vektoren [math] \vec a - \vec b,\,\vec v,\,\vec w[/math] linear unabhängig sein müssen.

Der Normalenvektor [math]\vec n[/math], der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren [math]\vec v[/math] und [math]\vec w[/math] steht, lässt sich über das Kreuzprodukt berechnen:

[math]\vec n = \vec v \times \vec w[/math] und auf die Länge 1 bringen: [math]\vec n_0 = \frac{\vec v \times \vec w}{|\vec v \times \vec w|}[/math].

Die Berechnung des Abstandes ist möglich durch die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf den Normalenvektor. Dazu wird der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht. Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt dann

[math]d(g,h)=|(\vec a -\vec b)\cdot \vec n_0|[/math].

Schreibweise mit Determinanten

Die beiden Geradengleichungen lauten ausgeschrieben

[math]g\colon \vec x = \left(\begin{smallmatrix} a_1 \\[0.7ex] a_2 \\[0.7ex] a_3 \end{smallmatrix}\right) + r \left(\begin{smallmatrix} v_1 \\[0.7ex] v_2 \\[0.7ex] v_3 \end{smallmatrix}\right)[/math]
[math]h\colon \vec x = \left(\begin{smallmatrix} b_1 \\[0.7ex] b_2 \\[0.7ex] b_3 \end{smallmatrix}\right) + s \left(\begin{smallmatrix} w_1 \\[0.7ex] w_2 \\[0.7ex] w_3 \end{smallmatrix}\right) \ \ \,r,s \in \R[/math].

Der Abstand der beiden windschiefen Geraden mit Hilfe der Determinante det beträgt dann

[math]d(g,h) = \frac{\left| \det \begin{pmatrix} a_1-b_1 & a_2-b_2 & a_3-b_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}\right|}{\sqrt{\begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} v_3 & v_1 \\ w_3 & w_1\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2\end{vmatrix}^2}}[/math].

Bestimmung der Lotfußpunkte

Den Lotfußpunkt [math]F_h[/math] erhält man, indem man eine Hilfsebene [math]E[/math] aufstellt. Der Punkt [math]A[/math] liegt auf der Hilfsebene, [math]\vec v[/math] und [math]\vec n[/math] spannen die Hilfsebene auf.

[math]E\colon \vec x = \vec a + r \vec v + t \vec n \ \ , r,t \in \R[/math],

wobei der Normalenvektor bestimmt wird durch

[math]\vec n = \vec v \times \vec w[/math].

Der Schnittpunkt von [math]E[/math] und [math]h[/math] ergibt den Lotfußpunkt [math]F_h[/math]:

[math]\vec F_h=\frac{ \vec a \cdot \vec n_1 - \vec b \cdot \vec n_1 }{ \vec w \cdot \vec n_1 } \vec w + \vec b[/math] mit [math]\vec n_1 = \vec v \times (\vec v \times \vec w)[/math]

Analog erhält man [math]F_g[/math] mit der Ebene [math]E'\colon \vec x = \vec b + s \vec w + t \vec n \ \ \, s,t \in \R[/math] und ihrem Schnittpunkt mit [math]g[/math]:

[math]\vec F_g=\frac{ \vec b \cdot \vec n_2 - \vec a \cdot \vec n_2 }{ \vec v \cdot \vec n_2 } \vec v + \vec a[/math] mit [math]\vec n_2 = \vec w \times (\vec v \times \vec w)[/math]

Bei dieser Methode muss der Abstand [math]d[/math] nicht berechnet werden.

Bemerkung

Einzelnachweise

  1. Meyers Rechenduden, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1960, S. 807
  2. Abschnitt 3.3.1.1 Zwei Geraden in der Google-Bücher-Suche für das Taschenbuch der Mathematik

Literatur

  • M. Jeger / B. Eckmann: Einführung in die vektorielle Geometrie und lineare Algebra für Ingenieure und Naturwissenschafter. Birkhäuser Verlag, Basel - Stuttgart 1967.
  • Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung, Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main, 1971, ISBN 3-425-05302-7
  • Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung, Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main, 1971, ISBN 3-425-05302-7
  • Wilmut Kohlmann et al.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Vieweg-Verlag, Braunschweig, 1977, ISBN 3-594-10826-0
  • Elisabeth & Friedrich Barth, Gert Krumbacher: Anschauliche Analytische Geometrie, Oldenbourg-Verlag, München, 1997, ISBN 3-486-03500-2

Weblinks


Kategorien: Analytische Geometrie | Raumgeometrie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Windschiefe (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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