Wilson-Primzahl - LinkFang.de





Wilson-Primzahl


Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen [math]p[/math], für die gilt, dass [math](p-1)! + 1[/math] durch [math]p^2[/math] teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.

Definition

Zur Notation siehe Fakultät, Teilbarkeit und Kongruenz

Der Satz von Wilson besagt, dass [math](p-1)! + 1[/math] genau dann durch [math]p[/math] teilbar ist, wenn [math]p[/math] eine Primzahl ist. Für jede Primzahl [math]p[/math] gilt also:

[math]p \mid (p-1)! + 1[/math]

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

[math](p-1)!\equiv-1\pmod p[/math]

oder

[math](p-1)! + 1 \equiv 0 \pmod p[/math]

Das ganzzahlige Ergebnis der Division

[math]\frac{(p-1)! + 1}{p}[/math]

wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient [math]W(p)[/math] bezeichnet[1] (Folge A007619 in OEIS ).

Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl [math]p[/math], die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).

Beispiel

Die Zahl [math]p=13[/math] ist ein Teiler von [math](p-1)! + 1[/math]:

[math]\frac{(13-1)! + 1}{13} = \frac{479.001.600 + 1}{13} = 36.846.277[/math]

Also ist 13 eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 [math]:[/math] 13 = 2.834.329), ist sie eine Wilson-Primzahl.

Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl [math]p[/math] genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:

[math]p^2 \mid (p-1)! + 1[/math]

Beziehungsweise:

[math](p-1)!\equiv-1\pmod{p^2}[/math]

oder

[math]\frac{(p-1)! + 1}{p} = W(p) \equiv 0 \pmod p[/math]

Vorkommen

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563[2] bekannt (Folge A007540 in OEIS ). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als 5 × 108.[3][4] Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa [math]\log(\log(y)/\log(x))[/math] zwischen [math]x[/math] und [math]y[/math].[5][4]

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Eric W. Weisstein: Wilson Quotient . In: MathWorld (englisch).
  2. Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime. In: Journal of the London Mathematical Society, 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)
  3. Here is the latest update on … – E-Mail von Richard McIntosh an Paul Zimmermann vom 9. März 2004 (englisch)
  4. 4,0 4,1 Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. In: Mathematics of Computation, 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
  5. Chris K. Caldwell: Wilson prime. The Prime Glossary (englisch).

Kategorien: Primzahl

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Wilson-Primzahl (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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