Wahrscheinlichkeitsfunktion - LinkFang.de





Wahrscheinlichkeitsfunktion


Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist in der Stochastik eine reellwertige Funktion, die einem Element einer (höchstens abzählbaren) Menge eine Zahl zwischen null und eins zuordnet. Wahrscheinlichkeitsfunktionen sind ein gängiges Mittel, um auf abzählbaren Ereignisräumen verschiedenste Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren. Dabei wird die einem Element zugeordnete Zahl als Wahrscheinlichkeit gedeutet, dass das entsprechende Elementarereignis eintritt.

Ein Beispiels hierfür wäre ein fairer Münzwurf: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet dem Element "Kopf" die Zahl 0,5 zu. Diese wiederum entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass "Kopf" geworfen wird.

Synonym werden Wahrscheinlichkeitsfunktionen auch als Zähldichte bezeichnet[1], da sie in einem weiteren maßtheoretischen Kontext einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezüglich des Zählmaßes entspricht. Aufgrund ihrer Unterschiedlichen Eigenschaften wird zwischen Zähldichten und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen unterschieden.

Definition

Eine Abbildung

[math] f: \N \to [0,1] [/math],

die jeder natürlichen Zahl [math] i [/math] eine Zahl zwischen null und eins zuordnet, also

[math] f(i)=p_i [/math]

mit [math] p_i \in [0,1] [/math] und für die gilt

[math] \sum_{i=0}^\infty p_i =1 [/math]

heißt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Analog wird für eine beliebige höchstens abzählbare Menge [math] A [/math] eine Wahrscheinlichkeitsfunktion

[math] f: A \to [0,1] [/math]

definiert durch

[math] f(a)=p_a \text{ für alle } a \in A [/math],

so dass

[math] \sum_{a \in A} p_a =1 [/math]

erfüllt ist.

Beispiel und Verwendung

Ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf [math] \N [/math] gegeben, so lässt sich aus ihr eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Messraum [math] (\N, \mathcal P (\N) )[/math] definieren. Dafür setzt man

[math] P(\{i\})=f(i)=p_i [/math]

und

[math] P(T)=\sum_{i \in T} f(i) [/math]

So liefert beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsfunktion auf [math] \{1, \dots, 6 \} [/math], gegeben durch

[math] f(i)=\frac 16 \text{ für alle } i [/math]

eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeiten beim fairen Würfeln zu definieren. Diese ist dann gegeben durch

[math] P(\{i\})=f(i)=\frac 16 \text{ für alle } i=1, \dots, 6 [/math].

Die Wahrscheinlichkeiten für Mengen der Form [math] \{2,3,6\} [/math] ergeben sich dann über die obige Definition oder die σ-Additivität der Wahrscheinlichkeitsverteilungen als

[math] P(\{2,3,6\})= P(\{2\})+P(\{3\})+P(\{6\})= f(2)+f(3)+f(6)=\frac 36 = \frac 12 [/math].

Ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen findet sich bei der geometrische Verteilung, eine ihrer Varianten besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

[math] f(i)= (1-q) q^i \text{, wobei } i=0,1,2,\dotsc [/math].

Dabei ist [math] q \in (0,1) [/math]. Die Normiertheit folgt hier mittels der geometrischen Reihe. Hier ergibt sich dann beispielsweise

[math] P(\{0,2\})=P(\{0\}) + P(\{2 \}) = f(0)+ f(2)= (1-q)+(1-q)q^2=(1-q)(1+q^2) [/math]

Analog lassen sich so Wahrscheinlichkeitsmaße auf allgemeineren Mengen definieren. Wesentlicher und einziger Unterschied ist hier, dass die Indizierung und Summation über die Elemente der Grundmenge [math] A [/math] läuft und nicht über die natürlichen Zahlen.

Eigenschaften

Eindeutigkeit

Jede Wahrscheinlichkeitsfunktion definiert über die obige Konstruktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Umgekehrt definiert jede Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer höchstens abzählbaren Menge über

[math] f(i):=P(\{i\}) [/math]

eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Diese Zuordnung ist bijektiv, das heißt jedem Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer höchstens abzählbaren Menge kann eine eindeutige Wahrscheinlichkeitsfunktion zugeordnet werden und umgekehrt. Diese Eindeutigkeit ist nicht selbstverständlich und bei den Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen beispielsweise nicht gegeben. So besitzt die Cantor-Verteilung keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Verteilungsfunktion

Ist [math] f [/math] eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf [math] \N [/math], so ist die Verteilungsfunktion des entsprechenden Wahrscheinlicheitsmaßes gegeben als

[math]F_P(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} p_i[/math].

Dabei bezeichnet [math]\lfloor \cdot \rfloor[/math] die Abrundungsfunktion, das heißt [math]\lfloor x \rfloor[/math] ist größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich [math]x[/math] ist.

Ist [math] f [/math] auf einer höchstens abzählbaren Teilmenge der reellen Zahlen definiert, also auf [math] A \subset \R [/math], so ist die Verteilungsfunktion des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert durch

[math]F_P(x) = \sum_{i \leq x} p_i[/math].

Beispiel hierfür ist [math] A=\Z [/math].

Literatur

  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.

Einzelnachweise

  1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 18.

Kategorien: Stochastik | Wahrscheinlichkeitsverteilung

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsfunktion (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.