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Vorwärtsschnitt


Dieser Artikel erläutert den ebenen Vorschwärtsschnitt; für den räumlichen Vorwärtsschnitt siehe Photogrammetrie.

Vorwärtseinschnitt zur Punktbestimmung

Der ebene Vorwärtsschnitt ist eine trigonometrische Methode zur Punktbestimmung in der Geodäsie. Dies geschieht durch Richtungsmessungen von zwei Standorten A und B zu einem Neupunkt N. Die Koordinaten der beiden Punkte A und B müssen bekannt sein.

Aufgrund der anschaulichen Darstellung als Schnitt zweier Geraden erklärt sich auch der Begriff „Vorwärtsschnitt“ oder „Vorwärtseinschneiden“.

Die Berechnung erfolgt durch Auflösung des Dreiecks ABN oder durch Berechnung des Schnittpunktes N der beiden Strahlen, die von den jeweilige Standpunkt A und B zum Neupunkt verlaufen.

Zuerst werden die Dreieckswinkel [math]\psi[/math] und [math]\phi[/math] aus den gemessenen Richtungen berechnet:

[math]\psi = r_{AB} - r_{AN}, \quad \phi = r_{BN} - r_{BA}[/math]

Aus den gegebenen Koordinaten [math]y_A, x_A[/math] und [math]y_B, x_B[/math] der Punkte A und B lassen sich der Richtungswinkel [math]\phi_{AB}[/math] und die Basisstrecke [math]s_{AB}[/math] berechnen (Achtung: Koordinatensystem ist geodätisch gegeben mit y-Achse nach rechts und x-Achse nach oben):

[math]\phi_{AB} = \arctan \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, \quad s_{AB} = \sqrt{(y_B - y_A)^2 + (x_B - x_A)^2}[/math]

Mit dem Sinussatz lassen sich die Dreiecksseiten berechnen:

[math]a = \frac{s_{AB} \sin \psi}{\sin (\psi + \phi)}, \quad b = \frac{s_{AB} \sin \phi}{\sin (\psi + \phi)}[/math]

Damit gilt für die Richtungswinkel in den Punkten A und B:

[math]\phi_{AN} = \phi_{AB} - \psi, \quad \phi_{BN} = \phi_{BA} + \phi[/math]

Das Berechnen der Koordinaten [math]y_N, x_N[/math] des Neupunkts erfolgt nun durch polares Anhängen:

[math]y_N = y_A + b \sin \phi_{AN}, \quad x_N = x_A + b \cos \phi_{AN}[/math]

Zur Probe kann man nun auch noch von Punkt B aus die Koordinaten rechnen:

[math]y_N = y_B + a \sin \phi_{BN}, \quad x_N = x_B + a \cos \phi_{BN}[/math]

Eine Variante des Vorwärtsschnittes ist der Seitwärtsschnitt, wo eine der Messungen in Punkt A oder B durch eine Winkelmessung im Neupunkt selbst ersetzt wird.

Vorwärtseinschnitt zur Längenermittlung

Der Vorwärtseinschnitt zur Längenermittlung ist eine trigonometrische Methode zur Längenermittlung. Dies geschieht durch Richtungsmessungen von zwei Standorten A und B zu den zwei Endpunkten C und D einer Strecke. Der Abstand von A und B muss bekannt sein.

Wie in der Abbildung zu erkennen ist, sind die Winkel [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math], [math]\gamma[/math] und [math]\delta[/math], sowie die Länge der Strecke a, bekannt.

Die Berechnung erfolgt durch Auflösung der Dreiecke ABC, ABD und schließlich ACD.

Zuerst wird im Dreieck ABC über den Sinussatz die Strecke e berechnet:

[math]\frac{e}{\sin \delta}=\frac{a}{\sin (180^\circ -\alpha -\delta ) } [/math]

also

[math]e=\frac{a \cdot \sin \delta}{\sin (180^\circ -\alpha -\delta ) }[/math]

Nun kann man im Dreieck ABD über den Sinussatz die Strecke d berechnen:

[math]\frac{d}{\sin \gamma}=\frac{a}{\sin (180^\circ -\beta -\gamma ) } [/math]

also

[math]d=\frac{a \cdot \ sin \gamma}{\sin (180^\circ -\beta -\gamma ) } [/math]

Nun hat man zwei Seiten und einen Winkel im Dreieck ACD und kann mit dem Kosinussatz die gesuchte Seite c berechnen:

[math]c^2=d^2 + e^2 - 2 de \cdot \cos (\beta-\alpha)[/math]

Siehe auch


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Vorwärtsschnitt (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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