Voigtsche Notation - LinkFang.de





Voigtsche Notation


Die Voigtsche Notation, benannt nach dem Physiker Woldemar Voigt, ist eine abkürzende Schreibweise für symmetrische Tensoren. Ausgehend von der Indexnotation für Tensoren werden dabei jeweils 2 Indizes nach einer bestimmten Vorschrift zu einem Index „zusammengezogen“. Ein Tensor zweiter Stufe hat im Allgemeinen 9 Komponenten, die in einer 3×3-Matrix zusammengefasst werden können:

[math] \begin{align} \begin{bmatrix}\sigma_{ij}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\ \end{bmatrix} \end{align} [/math]

Ein symmetrischer Tensor hat zwar auch 9 Komponenten - aber nur 6 Bestimmungsstücke, so dass man kürzer schreiben kann:

[math] \begin{align} \begin{bmatrix}\sigma_{ij}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \text{sym} & & \sigma_{33} \\ \end{bmatrix} \end{align} [/math]

Die 6 Bestimmungsstücke [math]\sigma_{11}, \sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{22}, \sigma_{23}, \sigma_{33}[/math] lassen sich statt in einer quadratischen 3×3-Matrix auch in einer 6×1-Spaltenmatrix (Spaltenvektor) anordnen. Während die Elemente der 3×3-Matrix durch zwei Indizes gekennzeichnet sind, sind die Elemente der 6×1-Spaltenmatrix durch genau einen Index gekennzeichnet - so dass zu definieren ist, in welcher Weise die Indizes „zusammengezogen“ werden. Im Bild rechts sieht man die am häufigsten verwendete Zuordnung („Zusammenziehungs“-Regel) zwischen den Indizes des 6×1-Spaltenvektors und den Indizes der 3×3-Matrix.

Die Zusammenfassung der 6 Bestimmungsstücke eines symmetrischen Tensors zu einem 6×1-Spaltenvektor unter Anwendung einer „Zusammenziehungs“-Regel nennt man die Voigtsche Notation (der Komponenten) des Tensors.

Voigtsche Notation in der Elastizitätstheorie

Spannungstensor und Verzerrungstensor

Für den Spannungstensor definiert man:

[math] \begin{align} \begin{bmatrix} \sigma_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \text{sym} & & \sigma_{33} \\ \end{bmatrix} \longrightarrow & \begin{bmatrix} \sigma_\alpha \end{bmatrix}^{\text{V}} = \begin{bmatrix} \color{red}{\sigma_{1}} \\ \color{red}{\sigma_{2}} \\ \color{red}{\sigma_{3}} \\ \color{blue}{\sigma_{4}} \\ \color{blue}{\sigma_{5}} \\ \color{blue}{\sigma_{6}} \\ \end{bmatrix}^{\text{V}} := \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \\ \end{bmatrix} \end{align} [/math]

Die 6×1-Voigt-Matrix ist hier im Artikel durch ein hochgestelltes V gekennzeichnet, und die Komponenten des Voigt-Spaltenvektors haben nur einen Index. Anhand dieser Merkmale lässt sich erkennen, ob für eine Größe die Voigt-Notation verwendet wird oder die klassische Notation. Die Komponenten des Spannungstensors haben in der klassischen Tensor-Notation zwei Indizes, die in der Matrix [math]\begin{bmatrix}\sigma_{ij}\end{bmatrix}[/math] zusammengefasst werden. Die Zahl der Bestimmungsstücke ist wegen der Symmetrie 6, nämlich [math]\sigma_{11}, \sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{22}, \sigma_{23}, \sigma_{33}[/math]. In der Voigt-Notation werden diese Bestimmungsstücke in einem Spaltenvektor angeordnet, und können daher durch nur einen Index adressiert werden. Die 6 Komponenten des Voigtschen Spaltenvektors, nämlich [math]\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{4}, \sigma_{5}, \sigma_{6}[/math], werden entsprechend der letzten Gleichung (Regel der „Zusammenziehung“) definiert.

Für den Verzerrungstensor wird eine etwas andere „Zusammenziehung“ verwendet, nämlich:

[math] \begin{align} \begin{bmatrix} \varepsilon_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \text{sym} & & \varepsilon_{33} \\ \end{bmatrix} \longrightarrow & \begin{bmatrix} \varepsilon_\alpha \end{bmatrix}^{\text{V}} = \begin{bmatrix} \color{red}{\varepsilon_{1}} \\ \color{red}{\varepsilon_{2}} \\ \color{red}{\varepsilon_{3}} \\ \color{blue}{\varepsilon_{4}} \\ \color{blue}{\varepsilon_{5}} \\ \color{blue}{\varepsilon_{6}} \\ \end{bmatrix}^{\text{V}} := \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{13} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ \end{bmatrix} \end{align} [/math]

Neu ist der Faktor 2 bei den letzten 3 Komponenten des Voigt-Vektors. Durch diesen Faktor stellt man sicher, dass:

[math] \sigma_\alpha \varepsilon_\alpha = \sigma_{ij} \varepsilon_{ij} = 2 F [/math]

F ist hierbei die Freie Energie, näheres hierzu siehe z. B. doi:10.1007/b93853 .

Farbliche Kennzeichnung: Jeder roten Voigt-Vektor-Komponente wird genau eine Tensorkomponente zugeordnet. Und jeder blauen Voigt-Vektor-Komponente werden genau zwei Tensorkomponenten zugeordnet, also ist z. B.:

[math] \begin{align} \color{red}{\varepsilon_{1}}&=\varepsilon_{11}\\ \color{blue}{\varepsilon_{5}}&=2 \varepsilon_{13}=2 \varepsilon_{31} \end{align} [/math]

Steifigkeit

Wenn die Komponenten [math]C_{ijkl}[/math] eines Tensors 4. Stufe im (i,j)-Indexpaar und im (k,l)-Indexpaar symmetrisch sind, lässt sich das vordere und das hintere Indexpaar mit derselben Index-„Zusammenziehung“ behandeln wie bei einem Tensor 2. Stufe. Die 3×3×3×3=81 Tensorkomponenten lassen sich dann einer 6×6-Voigt-Matrix zuordnen. Der Index, der aus dem vorderen Indexpaar entstanden ist, wird dabei der erste Index der 6×6-Matrix, so dass:

[math] \begin{align} \begin{bmatrix} C_{\alpha\beta} \end{bmatrix}^{\text{V}} \end{align} = \begin{bmatrix} \color{red}{C_{11}} & \color{red}{C_{12}} & \color{red}{C_{13}} & \color{blue}{C_{14}} & \color{blue}{C_{15}} & \color{blue}{C_{16}}\\ \color{red}{C_{21}} & \color{red}{C_{22}} & \color{red}{C_{23}} & \color{blue}{C_{24}} & \color{blue}{C_{25}} & \color{blue}{C_{26}}\\ \color{red}{C_{31}} & \color{red}{C_{32}} & \color{red}{C_{33}} & \color{blue}{C_{34}} & \color{blue}{C_{35}} & \color{blue}{C_{36}}\\ \color{blue}{C_{41}} & \color{blue}{C_{42}} & \color{blue}{C_{43}} & C_{44} & C_{45} & C_{46}\\ \color{blue}{C_{51}} & \color{blue}{C_{52}} & \color{blue}{C_{53}} & C_{54} & C_{55} & C_{56}\\ \color{blue}{C_{61}} & \color{blue}{C_{62}} & \color{blue}{C_{63}} & C_{64} & C_{65} & C_{66}\\ \end{bmatrix}^{\text{V}} := \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112}\\ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212}\\ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312}\\ C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312}\\ C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312}\\ C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212}\\ \end{bmatrix} [/math]

Jeder roten Voigt-Matrix-Komponente wird damit genau eine Tensorkomponente zugeordnet. Jeder blauen Voigt-Matrix-Komponente werden genau zwei Tensorkomponenten zugeordnet. Und jeder schwarzen Voigt-Matrix-Komponente werden genau vier Tensorkomponenten zugeordnet. Z. B.:

[math] \begin{align} \color{red}{C_{21}}&=C_{2211}\\ \color{blue}{C_{26}}&=C_{2212}=C_{2221}\\ \color{blue}{C_{62}}&=C_{1222}=C_{2122}\\ C_{65}&=C_{1213}=C_{1231}=C_{2113}=C_{2131}\\ \end{align} [/math]

Es gibt 9 rote, 18 blaue und 9 schwarze (insgesamt 36) Voigt-Matrix-Komponenten. Und alle 3×3×3×3=81 Tensorkomponenten werden zugeordnet, denn:

[math] \begin{align} \color{red}{9} \color{black}{\cdot 1} + \color{blue}{18} \color{black}{\cdot 2} + 9 \cdot 4 &= \\ 9 + 36 + 36 &= 81 \\ \end{align} [/math]

Materialgesetz

Das Materialgesetz in der linearen Elastizitätstheorie ist eine lineare Abbildung zwischen Verzerrung und Spannung. In der Tensorschreibweise ist dies ein Tensor 4. Stufe, der die Tensoren 2. Stufe verknüpft.

[math] \sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl} [/math]

Hierbei wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet. Eine dieser 9 Gleichungen lautet beispielsweise

[math] \begin{align} \sigma_{23}&=C_{23kl}\varepsilon_{kl}\\ &=C_{2311}\varepsilon_{11} +C_{2312}\varepsilon_{12} +C_{2313}\varepsilon_{13} +C_{2321}\varepsilon_{21} +C_{2322}\varepsilon_{22} +C_{2323}\varepsilon_{23} +C_{2331}\varepsilon_{31} +C_{2332}\varepsilon_{32} +C_{2333}\varepsilon_{33} \end{align} [/math]

In der Voigtschen Notation ist die entsprechende Abbildung eine 6x6 Matrix.

[math] \begin{align} \sigma_{\alpha} &=C_{\alpha\beta}\varepsilon_{\beta}\\ \begin{bmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \\ \end{bmatrix}^{\text{V}} &= \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16}\\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26}\\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36}\\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46}\\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56}\\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66}\\ \end{bmatrix}^{\text{V}} \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \varepsilon_{4} \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6} \\ \end{bmatrix}^{\text{V}} \end{align} [/math]

Aus der Forderung der Äquivalenz der beiden Schreibweisen ergibt sich der Zusammenhang für die Komponenten:

[math] \begin{align} \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112}\\ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212}\\ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312}\\ C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312}\\ C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312}\\ C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \\ \end{bmatrix}^{\text{V}} = \begin{bmatrix} C_{\alpha\beta} \end{bmatrix}^{\text{V}} \end{align} [/math]

Für die Schreibweise mit 4 Indizes wird Symmetrie in den ersten und letzten beiden Indizes vorausgesetzt, also [math]C_{ijkl}=C_{ijlk} = C_{jikl} [/math]. Dies ist wegen der Symmetrie der Tensoren für Verzerrung und Spannung ohne Einschränkung der Allgemeinheit möglich und üblich. Wegen der Existenz eines Potentials ist [math]\begin{bmatrix}C_{\alpha\beta}\end{bmatrix}^{\text{V}}[/math] symmetrisch, und für die Tensorschreibweise gilt äquivalent, dass [math]C_{ijkl}=C_{klij}[/math] ist. D. h. es gilt:

[math] \begin{align} \begin{bmatrix} C_{\alpha\beta} \end{bmatrix}^{\text{V}} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ & & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ & & & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ & & & & C_{55} & C_{56} \\ \text{sym}& & & & & C_{66} \\ \end{bmatrix}^{\text{V}} \end{align} [/math]

Nachgiebigkeit

Geht man anstelle von C von der Nachgiebigkeit S aus gemäß

[math] \begin{align} \varepsilon_{ij}=S_{ijkl}\sigma_{kl} \end{align} [/math]

und fordert man dieselben Symmetrien für S, die zuvor für C gefordert wurden, so gelangt man zu folgender Darstellung der Nachgiebigkeit in Voigtscher Notation

[math] \begin{align} \varepsilon_{\alpha}&=S_{\alpha\beta}\sigma_{\beta}\\ \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \varepsilon_{4} \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6} \\ \end{bmatrix}^{\text{V}} &= \begin{bmatrix} S_{1111} & S_{1122} & S_{1133} & 2S_{1123} & 2S_{1113} & 2S_{1112} & \\ & S_{2222} & S_{2233} & 2S_{2223} & 2S_{2213} & 2S_{2212} & \\ & & S_{3333} & 2S_{3323} & 2S_{3313} & 2S_{3312} & \\ & & & 4S_{2323} & 4S_{2313} & 4S_{2312} & \\ &\text{sym}& & & 4S_{1313} & 4S_{1312} & \\ & & & & & 4S_{1212} & \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \\ \end{bmatrix}^{\text{V}} \end{align} [/math]

Vergleich der Tensorschreibweise mit der Voigt-Notation

Vor- und Nachteile der Voigt-Notation

Die Voigt-Notation ist deutlich kompakter als die vollständige Tensornotation und die Voigtsche Steifigkeitsmatrix lässt sich leicht invertieren. Des Weiteren ist leicht erkennbar, dass ein lineares Materialgesetz (für das die Symmetrien von C gelten) im Allgemeinen 21 unabhängige Werte (Material-Konstanten) enthält. Wenn C noch weitere Bedingungen/Symmetrien erfüllt, reduziert sich die Anzahl der Konstanten weiter.

Diesen Vorteilen stehen einige Nachteile gegenüber: Es sind auch andere „Zusammenziehungsvorschriften“ möglich, z. B. könnte auch sein: [math]\varepsilon_4:=1 \varepsilon_{12}[/math]. Die Voigtsche Notation ist lediglich die gebräuchlichste Form. [math]\begin{bmatrix}\sigma_\alpha\end{bmatrix}^{\text{V}}[/math] oder [math]\begin{bmatrix}\varepsilon_\alpha\end{bmatrix}^{\text{V}}[/math] sind keine (weder ko- noch kontravariante) Vektoren. Sie transformieren sich bei Koordinatenwechsel also auch nicht wie Vektoren. Dasselbe gilt für Objekte in Voigt-Notation, die mehrere Indizes haben. Würde man z. B. die „Vektoren“ in Voigt-Notation als Vektoren auffassen und auf dem zugehörigen Vektorraum [math]V^{\text{v}}[/math] eine Norm wie üblich definieren, dann müsste man feststellen, dass im Allgemeinen gilt

[math] \begin{align} \| \begin{bmatrix}\sigma_\alpha \end{bmatrix} \|_{V^{\text{v}}} \neq \| \sigma_{ij} \|_{ V^{ 3\times 3} } \end{align} [/math]
wobei rechts die übliche Norm auf dem Vektorraum der 3×3-Matrizen gemeint ist.

Äquivalenz der Schreibweisen

Die Voigtsche Notation ist äquivalent zur ausführlichen Indexnotation für Tensoren. Genauer gesagt gilt:

[math] \left.\begin{align} \sigma_\alpha := &\dots\\ \varepsilon_\alpha := &\dots\\ C_{\alpha\beta} := &\dots\\ \sigma_\alpha = & C_{\alpha\beta}\varepsilon_\beta \\ C_{\alpha\beta} = & C_{\beta\alpha}\\ \end{align}\right\} \Leftrightarrow \begin{cases} \sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl} & \\ \sigma_{ij}= \sigma_{ji} & \Rightarrow C_{ijkl}=C_{jikl} \qquad \text{lässt sich o. B. d. A. fordern}\\ F:=\frac{1}{2}\varepsilon_{ij}C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \quad \and \quad \sigma_{mn}= \frac{\partial F}{\partial \varepsilon_{mn}} & \Rightarrow C_{ijkl}=C_{klij} \\ \varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}& \end{cases} [/math]

Man kann die Äquivalenz beider Schreibweisen leicht zeigen. z. B. ist

[math] \begin{align} \sigma_{23}&= C_{2311}\varepsilon_{11} +C_{2312}\varepsilon_{12} +C_{2313}\varepsilon_{13} +C_{2321}\varepsilon_{21} +C_{2322}\varepsilon_{22} +C_{2323}\varepsilon_{23} +C_{2331}\varepsilon_{31} +C_{2332}\varepsilon_{32} +C_{2333}\varepsilon_{33}\\ &= C_{2311}\varepsilon_{11} +(C_{2312}+C_{2321})\varepsilon_{12} +(C_{2313}+C_{2331})\varepsilon_{13} +(C_{2323}+C_{2332})\varepsilon_{23} +C_{2322}\varepsilon_{22} +C_{2333}\varepsilon_{33}\\ &= C_{2311}\varepsilon_{11} +2 C_{2312}\varepsilon_{12} +2 C_{2313}\varepsilon_{13} +2 C_{2323}\varepsilon_{23} +C_{2322}\varepsilon_{22} +C_{2333}\varepsilon_{33}\\ &= C_{2311}\varepsilon_{11} +C_{2322}\varepsilon_{22} +C_{2333}\varepsilon_{33} +C_{2323} 2 \varepsilon_{23} +C_{2313} 2 \varepsilon_{13} +C_{2312} 2 \varepsilon_{12}\\ &= C_{2311}\varepsilon_{1} +C_{2322}\varepsilon_{2} +C_{2333}\varepsilon_{3} +C_{2323}\varepsilon_{4} +C_{2313}\varepsilon_{5} +C_{2312}\varepsilon_{6}\\ &= C_{1123}\varepsilon_{1} +C_{2223}\varepsilon_{2} +C_{3323}\varepsilon_{3} +C_{2323}\varepsilon_{4} +C_{2313}\varepsilon_{5} +C_{2312}\varepsilon_{6}\\ &= C_{14}\varepsilon_{1} +C_{24}\varepsilon_{2} +C_{34}\varepsilon_{3} +C_{44}\varepsilon_{4} +C_{45}\varepsilon_{5} +C_{46}\varepsilon_{6}\\ &=\sigma_{4} \end{align} [/math]

Alternative Notationen

Auch andere „Zusammenziehungsvorschriften“ sind möglich. Z.B. ist die nach Nye benannte Notation der Komponenten des Spannungstensors:

[math] \begin{align} \begin{bmatrix} {\sigma_{1}} \\ {\sigma_{2}} \\ {\sigma_{3}} \\ {\sigma_{4}} \\ {\sigma_{5}} \\ {\sigma_{6}} \\ \end{bmatrix}^{\text{N}} := \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{23} \\ \end{bmatrix} \end{align} [/math]

Und die Nye-Notation für die Komponenten des Verzerrungstensors ist:

[math] \begin{align} \begin{bmatrix} {\varepsilon_{1}} \\ {\varepsilon_{2}} \\ {\varepsilon_{3}} \\ {\varepsilon_{4}} \\ {\varepsilon_{5}} \\ {\varepsilon_{6}} \\ \end{bmatrix}^{\text{N}} := \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{12} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{23} \\ \end{bmatrix} \end{align} [/math]

Weitere Notationen sind benannt nach Kelvin und Mandel. Die Mandel-Notation des Spannungstensors ist:

[math] \begin{align} \begin{bmatrix} {\sigma_{1}} \\ {\sigma_{2}} \\ {\sigma_{3}} \\ {\sigma_{4}} \\ {\sigma_{5}} \\ {\sigma_{6}} \\ \end{bmatrix}^{\text{M}} := \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sqrt{2}\sigma_{23} \\ \sqrt{2}\sigma_{13} \\ \sqrt{2}\sigma_{12} \\ \end{bmatrix} \end{align} [/math]

Siehe auch

Weiteres zur Spezialfällen der Anisotropie und damit zur Besetztheit der Steifigkeitsmatrix/Nachgiebigkeitsmatrix:

Literatur

  • Woldemar Voigt: Lehrbuch der Kristallphysik : mit Ausschluß d. Kristalloptik. Teubner, Leipzig u.a. 1910.
  • J. F. Nye: Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press, 1985, ISBN 0-19-851165-5.
  • I. Müller, P. Strehlow: Rubber and Rubber Balloons, Paradigms of Thermodynamics (= Lect. Notes Phys. Nr. 637). 2004, ISBN 978-3-540-20244-8.

Kategorien: Kontinuumsmechanik

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