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Ungleichungen in Vierecken


Ungleichungen in Vierecken sind Ungleichungen, die verschiedene Größen in einem Viereck zueinander in Beziehung setzen. Die Ungleichungen gelten, wenn sich das Viereck im (ungekrümmten) Euklidischen Raum [math]\R^3[/math] befindet. [math]a, b, c, d[/math] bezeichnen im Folgenden die Seitenlängen, [math]e,f[/math] die Diagonallängen eines Vierecks.

Verallgemeinerte Dreiecksungleichung

In jedem Viereck ist die Summe dreier beliebiger Seitenlängen größer als die vierte Seitenlänge:

[math]a+b+c\gtd, \quad b+c+d\gta, \quad a+c+d\gtb, \quad a+b+d\gtc.[/math]

Daraus folgt:

[math]a^2+b^2+c^2\gt\frac{d^2}3[/math]

Ptolemäische Ungleichung

In jedem Viereck gilt

[math]a\cdot c+b\cdot d\geq e\cdot f[/math].

Im Falle eines Sehnenvierecks gilt Gleichheit (Satz von Ptolemäus).

Ungleichung zwischen Umfang und Diagonalen

In jedem konvexen Viereck liegt die Summe der Diagonalenlängen zwischen dem halben und dem ganzen Umfang:

[math]\frac{1}{2}(a+b+c+d)\lte+f\lta+b+c+d[/math]

Vierecksungleichung für Metriken

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Vierecksungleichung im metrischen Raum:

[math]\Big| d(x,y) - d(u,v) \Big| \leq d(x,u) + d(v,y)[/math].

Beweis:

Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man:

[math]d(x,y) \leq d(x,u) + d(u,v) + d(v,y)[/math] bzw.
[math]d(u,v) \leq d(u,x) + d(x,y) + d(y,v)[/math]

Unter Verwendung der Eigenschaften von Metriken und absoluten Beträgen gilt dann

[math]\Big| d(x,y) - d(u,v)\Big| =d(x,y) - d(u,v) \leq d(x,u) + d(u,v) + d(v,y) - d(u,v) = d(x,u) + d(v,y)[/math]

falls [math]d(x,y) - d(u,v)\geq 0[/math] gilt bzw. im Fall [math]d(x,y) - d(u,v)\leq 0[/math]

[math]\Big| d(x,y) - d(u,v)\Big| =d(u,v) - d(x,y) \leq d(u,x) + d(x,y) + d(y,v) - d(x,y) = d(x,u) + d(v,y)[/math]

Siehe auch

Weblinks

 Wikibooks: Beweis des Satzes des Ptolemäus – Lern- und Lehrmaterialien

Kategorien: Ungleichung | Vierecksgeometrie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichungen in Vierecken (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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