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Unendliche Diedergruppe


Die unendliche Diedergruppe ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe. Es handelt sich um eine abzählbar unendliche Version der Diedergruppen.

Geometrische Definition

So wie die Diedergruppen [math]D_n[/math] als die Symmetriegruppen einer geometrischen Figur, nämlich eines regelmäßigen n-Ecks, eingeführt werden können, kann die unendliche Diedergruppe [math]D_\infty[/math] als die Gruppe aller Isometrien, die eine Teilmenge eines euklidischen Raums in sich abbilden, definiert werden. [math]D_\infty[/math] ist die Gruppe aller Isometrien auf [math]\R = \R^1[/math], die [math]\Z \subset \R[/math] in sich abbilden.

Diese Isometrien sind Translationen um [math]n[/math]

[math]\tau_n\colon \R\rightarrow \R,\quad x\mapsto x+n[/math]

für eine ganze Zahl [math]n\in \Z[/math] und Spiegelungen an [math]n/2[/math]

[math]\sigma_n\colon \R\rightarrow \R,\quad x \mapsto n-x[/math]

für eine ganze Zahl [math]n\in \Z[/math]. Die Gruppe dieser Isometrien heißt die unendliche Diedergruppe [math]D_\infty[/math]. Manche Autoren bezeichnen diese Gruppe mit [math]D_0[/math][1] oder nach der englischen Bezeichnung „dihedral group“ für Diedergruppe auch mit [math]\mathrm{Dih}_\infty[/math].

Die unendliche Diedergruppe wird schon von [math]\tau := \tau_1[/math] und [math]\sigma := \sigma_0[/math] erzeugt, denn offenbar gilt

[math]\tau_n = \tau\circ \ldots \circ \tau[/math], n-fache Hinteinanderausführung für [math]n\gt0[/math]
[math]\tau_n = \tau_{-n}^{-1}[/math] für [math]n\lt0[/math]
[math]\tau_0[/math] ist das neutrale Element
[math]\sigma_n= \tau_n\circ \sigma[/math] für alle [math]n\in \Z[/math],

das heißt, die von [math]\{\tau, \sigma\}[/math] erzeugte Untergruppe enthält bereits alle Isometrien [math]\tau_n[/math] und [math]\sigma_n[/math] und das heißt, dass [math]D_\infty[/math] von [math]\tau[/math] und [math]\sigma[/math] erzeugt wird.

Ferner besteht die Beziehung

[math]\sigma\circ \tau \circ \sigma = \tau^{-1}[/math],

denn für jedes [math]r\in \R[/math] gilt

[math]\sigma(\tau (\sigma(r))) = \sigma(\tau(-r)) = \sigma(-r+1) = r-1 = \tau^{-1}(r)[/math],

und es gilt

[math]\sigma^2 = 1[/math],

wobei 1 das neutrale Element bezeichne, denn [math]\sigma[/math] ist eine Spiegelung.

D als Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises

Sei [math]s[/math] die Spiegelung des Einheitskreises an der x-Achse und [math]d[/math] eine Drehung des Kreises um [math]2\pi r[/math] für eine irrationale Zahl [math]r[/math]. Die von [math]d[/math] erzeugte zyklische Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises ist wegen der Irrationalität von [math]r[/math] unendlich und daher zu [math]\Z[/math] isomorph. Dann gilt offenbar

[math]s^2=1,\, sds = d^{-1}[/math]

und man kann zeigen, dass [math]\sigma \mapsto s,\, \tau\mapsto d[/math] einen Isomorphismus von [math]D_\infty[/math] auf die von [math]\{s,d\}[/math] erzeugte Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises definiert. Insbesondere hängt deren Isomorphieklasse nicht von der Wahl der irrationalen Zahl [math]r[/math] ab.

Präsentationen von D

Nach Obigem erfüllen die Erzeuger [math]\tau[/math] und [math]\sigma[/math] die Relationen

[math]\sigma\circ \tau \circ \sigma = \tau^{-1}[/math]   und   [math]\sigma^2 = 1[/math].

Man kann zeigen, dass keine weiteren, davon unabhängigen Relationen bestehen. Präzise heißt das, dass [math]D_\infty[/math] die Präsentation

[math]D_\infty \,=\,\langle x,y|\, x^2=1,\, xyx = y^{-1}\rangle[/math]

besitzt. Die zweite Relation kann man wegen [math]x^2=1[/math] auch als [math]xy = y^{-1}x[/math] schreiben. Jedes Produkt aus den Erzeugern [math]x[/math] und [math]y[/math] kann daher durch wiederholte Anwendung der Relationen auf die Form [math]x^iy^n[/math] mit [math]i\in \{0,1\}[/math] und [math]n\in \Z[/math] gebracht werden. Für das Rechnen in der Gruppe gilt demnach

[math]D_\infty = \{x^iy^n|\,i\in\{0,1\}, n\in \Z\}[/math]   und   [math]x^iy^n\cdot x^jy^m = x^{i+j}y^{(1-2j)n+m}[/math],

wobei der Exponent [math]i+j[/math] modulo 2 zu verstehen ist.

Setzt man [math]z:=xy[/math], so ist

[math]z^2 = xyxy = y^{-1}y = 1[/math].

Da man umgekehrt das Element [math]y[/math] mittels [math]y=zx[/math] aus [math]x[/math] und [math]z[/math] zurückgewinnen kann, wird [math]D_\infty[/math] von den zwei Involutionen [math]x[/math] und [math]z[/math], das heißt von Elementen, deren Quadrat das neutrale Element ist, erzeugt, und man kann sich überlegen, dass keine weiteren Relationen bestehen. Wir erhalten also eine zweite Präsentation

[math]D_\infty = \langle x,z|\, x^2 = 1,\, z^2 = 1\rangle[/math].

Demnach ist die unendliche Diedergruppe die größte von zwei Involutionen erzeugte Gruppe, jede andere ist isomorph zu einer Faktorgruppe davon.[2]

Geometrisch entspricht der Erzeuger [math]z[/math] dem Produkt [math]\sigma\tau[/math], und das ist die Spiegelung an [math]\textstyle -\frac{1}{2}[/math]. Die oben geometrisch beschriebene unendliche Diedergruppe wird also auch von den beiden Spiegelungen an 0 und [math]\textstyle -\frac{1}{2}[/math] erzeugt. Das wird sofort verständlich, indem man sich klar macht, dass die Spiegelung an [math]\textstyle -\frac{1}{2}[/math], gefolgt von der Spiegelung an 0, nichts anderes als die Translation um 1 ist.

D als semidirektes Produkt

Betrachte den Homomorphismus [math]\alpha\colon \Z_2 \rightarrow \mathrm{Aut}(\Z)[/math] von der Gruppe 2 in die Automorphismengruppe von [math]\Z[/math], der die Restklasse von 1 auf [math]\alpha_1\colon \Z\rightarrow \Z,\, n\mapsto -n[/math] abbildet. Mit diesem [math]\alpha[/math] bilde das semidirekte Produkt

[math]\Z\rtimes_\alpha \Z_2 := \{(n,i)|\, n\in \Z, i\in \{0,1\}\}[/math].

Die Verknüpfung ist bekanntlich durch die Formel

[math](n,i)\cdot(m,j) := (n+\alpha_i(m), i+j)[/math]

definiert, wobei [math]\alpha_0 := \mathrm{id}_{\Z}[/math] und die Summe [math]i+j[/math] modulo 2 zu verstehen ist. Daraus liest man die Isomorphie zu [math]D_\infty[/math] ab.

Nun ist obiges [math]\alpha\colon \Z_2 \rightarrow \mathrm{Aut}(\Z)[/math] sogar ein Isomorphismus, denn neben [math]\alpha_1[/math] gibt es keine weiteren nichttrivialen Automorphismen auf [math]\Z[/math].

Daher ist [math]D_\infty[/math] der Holomorph von [math]\Z[/math], das heißt[3]

[math]D_\infty \cong \Z\rtimes_\alpha \Z_2 \cong \Z\rtimes \mathrm{Aut}(\Z) = \mathrm{Hol}(\Z)[/math].

D als freies Produkt

Die unendliche Diedergruppe ist das kleinste denkbare freie Produkt nichttrivialer Gruppen, es gilt[4]

[math]D_\infty \cong \Z_2 * \Z_2[/math].

Es ist klar, dass [math]\Z_2 * \Z_2[/math] von zwei Involutionen erzeugt wird. Daher erhält man aus obiger Präsentation einen Epimorphismus [math]D_\infty \rightarrow \Z_2 * \Z_2[/math], von dem man zeigt, dass er ein Isomorphismus ist. Manche Autoren definieren die unendliche Diedergruppe auf diese Weise.[5]

D als Matrizengruppe

Wir betrachten die Menge

[math]M := \bigl\{ \begin{pmatrix} e & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; \, e\in \{-1,+1\}, n\in \Z \bigr\}[/math]

von [math]2\times 2[/math]-Matrizen. Das Matrizenprodukt

[math]\begin{pmatrix}(-1)^i & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}(-1)^j & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(-1)^{i+j} & (-1)^im+n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

zeigt, dass die Menge [math]M[/math] mit dem Matrizenprodukt als Multiplikation eine zu [math]D_\infty[/math] isomorphe Gruppe ist.[6]

Untergruppen von D

Die unendliche Diedergruppe [math]D_\infty = \langle x,y|\, x^2=1,\, xyx = y^{-1}\rangle[/math] enthält folgende Untergruppen ([math]k,n,r[/math] ganze Zahlen):

[math]U_k := \langle y^k\rangle [/math]   für   [math]k \ge 0[/math],
[math]V_{0,n} := \langle y^nx\rangle \cong \Z_2[/math]   für   [math]n\in \Z[/math],
[math]V_{k,r} := \langle y^k, y^rx \rangle \cong D_\infty[/math]   für   [math]k\gt0, 0\le r \lt k[/math].

Das sind neben den trivialen bereits alle Untergruppen von [math]D_\infty[/math].[7]

Wegen [math]\{1\} \le \langle y \rangle \le D_\infty[/math] mit [math]D_\infty/\langle y \rangle \cong \Z_2[/math] ist die unendliche Diedergruppe auflösbar, metabelsch und polyzyklisch.

Einzelnachweise

  1. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), ISBN 978-3-642-94668-4, Beispiel 2 in Absatz 1.2.4.
  2. D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Seite 51: Examples of Presentations (I).
  3. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), ISBN 978-3-642-94668-4, Beispiel 1 in Absatz 1.3.6.
  4. D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example II.
  5. Ralph Stöcker: Algebraische Topologie: Eine Einführung. Ausgabe 2, Teubner-Verlag, ISBN 978-3-3228-6785-8, Beispiel 5.3.6.
  6. Antonio Machì: Groups. An Introduction to Ideas and Methods of the Theory of Groups. Springer-Verlag 2012, ISBN 978-88-470-2421-2, Kapitel 4.8, Beispiel 3.
  7. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), ISBN 978-3-642-94668-4, Beispiel 2 in Absatz 1.2.4.

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche Diedergruppe (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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