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Umkehrfunktion


Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. Eine Funktion [math]f\colon A \to B[/math] ordnet jedem [math]a \in A[/math] ein eindeutig bestimmtes Element [math]b \in B[/math] zu, das mit [math]f(a)[/math] bezeichnet wird. Umgekehrt kann es sein, dass für ein [math]b \in B[/math] kein [math]a \in A[/math] mit [math]b = f(a)[/math] existiert oder es kann mehr als ein [math]a \in A[/math] mit [math]b = f(a)[/math] geben. Eine Funktion [math]f[/math], bei der für jedes [math]b \in B[/math] genau ein [math]a \in A[/math] mit [math]b = f(a)[/math] existiert, wird bijektiv genannt. Für solche Funktionen kann man eine Funktion [math]f^{-1}[/math] bilden, die jedem [math]b \in B[/math] dieses eindeutig bestimmte [math]a \in A[/math] mit [math]b = f(a)[/math] zuordnet. Diese Funktion [math]f^{-1} \colon B \to A[/math] ist dann die Umkehrfunktion von [math]f[/math]. Eine Funktion, deren Umkehrfunktion existiert, wird auch als invertierbar bezeichnet.

Definition

Wenn [math]f : A \rightarrow B[/math] eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet [math]f^{-1} : B \rightarrow A[/math] die Umkehrfunktion. Dabei ist die hochgestellte [math]-1[/math] nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln; es handelt sich vielmehr um die Umkehrung bezüglich der Hintereinanderausführung (Verkettung) von Funktionen.

Der Funktionswert [math]f^{-1}(y)[/math] ist definiert als das (eindeutig bestimmte) [math]x \in A[/math], das die Gleichung [math]f(x) = y[/math] erfüllt.

Eine alternative Schreibweise ist [math]\bar f[/math] (f quer)[1], was allerdings leicht mit der komplexen Konjugation verwechselt wird.

Beispiele

  • Sei [math]A := \{ a, b, c, \ldots , y, z \}[/math] die Menge der 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets und sei [math] B := \{ 1, 2, 3, \ldots , 25, 26 \}[/math]. Die Funktion [math]f : A \rightarrow B[/math], die jedem Buchstaben die entsprechende Nummer im Alphabet zuordnet, ist bijektiv und [math]f^{-1} : B \rightarrow A [/math] ist gegeben durch [math] f^{-1}(n) =[/math] „der n-te Buchstabe im Alphabet“.
  • Sei [math]f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] die Funktion mit [math]f(x) = 3x + 2[/math]. Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch
[math]f^{-1} \colon \R \to \R, \quad f^{-1} (x) = (x - 2)/3 [/math].
  • Sei [math] \mathbb{R}_0^+ = [ 0, \infty ) [/math] die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen und [math]f \colon \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+ [/math] mit [math]f(x) = x^2[/math] eine eingeschränkte Quadratfunktion. Dann ist [math]f[/math] bijektiv und die Umkehrfunktion [math] f^{-1} \colon \mathbb{R}_{0}^{+} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+} [/math] ist gegeben durch [math]f^{-1}(x) = \sqrt{x}[/math].
  • Für [math]f\colon [0, 1] \to [0, 1][/math] mit [math]f(x) = \sqrt{1-x^2}[/math] gilt [math]f^{-1} = f[/math].

Eigenschaften

  • Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion, d. h.
[math]( f^{-1} )^{-1} = f[/math].
  • Ist [math]f \colon A \rightarrow B[/math] eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion:
[math]f( f^{-1} (x)) = x[/math] für alle [math]x \in B[/math],
[math]f^{-1}(f(x)) = x [/math] für alle [math]x \in A[/math].
Mit Hilfe der Verkettung von Funktionen lässt sich dies auch so schreiben:
[math]f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_B[/math]
[math]f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_A[/math].
  • Sind [math]f \colon A \rightarrow B[/math] und [math]g \colon B \rightarrow A[/math] zwei Funktionen mit den Eigenschaften
[math]f(g(x)) = x[/math] für alle [math]x \in B[/math] und
[math]g(f(x)) = x[/math] für alle [math]x \in A[/math],
dann sind beide Funktionen bijektiv und [math]g[/math] ist die Umkehrfunktion von [math]f[/math].
  • Sind die Funktionen [math]f\colon A \rightarrow B[/math] und [math]g\colon B \rightarrow C[/math] bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung [math]g \circ f : A \rightarrow C[/math]. Die Umkehrfunktion von [math]g \circ f[/math] ist dann [math]f^{-1} \circ g^{-1}[/math].
  • Eine Funktion [math]f\colon A \rightarrow A[/math] kann ihre eigene Umkehrfunktion sein. Es gilt dann [math]f \circ f = \operatorname{id}_A[/math] und man nennt [math]f[/math] eine Involution.
  • Ist [math]f\colon A \rightarrow B[/math] eine bijektive Funktion, wobei [math]A[/math] und [math]B[/math] Teilmengen von [math]\mathbb{R}[/math] sind, dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion, indem man den Graph von [math]f[/math] an der Geraden [math]y = x[/math] spiegelt.
  • Ist [math] f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] differenzierbar, [math]f'(x) \neq 0[/math] und [math] y := f(x)[/math], dann gilt die folgende Umkehrregel:
[math](f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}[/math].
Diese Aussage findet seine Verallgemeinerung im Satz von der Umkehrabbildung.

Berechnung

Ist [math]f : A \to B[/math] eine Funktion und gelingt es, die Gleichung [math]y = f(x)[/math] durch Äquivalenzumformung in die Form [math]x = g(y)[/math] zu bringen, also äquivalent nach [math]x[/math] aufzulösen (wobei [math]x \in A[/math], [math]y \in B[/math] und [math]g: B \to A[/math] gilt), dann ist [math]f[/math] als bijektiv nachgewiesen und die Umkehrfunktion von [math]f[/math] (nämlich [math]g[/math]) bestimmt.

Beispiele:

  • Sei [math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math] mit [math]f(x) = 2x - 1[/math]. Die folgenden Gleichungen sind äquivalent:
    [math]y = 2x - 1[/math]
    [math]2x = y + 1[/math]
    [math]x = \tfrac{y+1}{2}[/math]
Die Umkehrfunktion von [math]f[/math] lautet daher [math]f^{-1}(y)=\tfrac{y+1}{2}[/math]. Da es üblich ist, das Argument mit [math]x[/math] zu bezeichnen, schreibt man auch: [math]f^{-1}(x)=\tfrac{x+1}{2}[/math].
  • Sei [math]f: (0, \infty) \to \mathbb{R}[/math] mit [math]f(x) = \tfrac{x^2-1}{2x}[/math]. Die folgenden Gleichungen sind äquivalent (man beachte, dass [math]x \gt 0[/math] gilt):
    [math]y = \tfrac{x^2-1}{2x}[/math]
    [math]2xy = x^2 - 1\ [/math]
    [math]x^2 - 2xy - 1 = 0\ [/math]
    [math]x = y + \sqrt{y^2+1}[/math]
(Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da [math]x[/math] als positiv vorausgesetzt ist.) Die Umkehrfunktion lautet also: [math]f^{-1}(y) = y + \sqrt{y^2+1}[/math]

Verallgemeinerungen

Für allgemeinere Anwendungen ist der oben eingeführte Begriff der Umkehrfunktion als Inverses einer Bijektion zu eng. Entsprechend existieren Verallgemeinerungen für solche Gegebenheiten, von denen zwei nachfolgend vorgestellt werden.

Links- und Rechtsinverse

Für eine Funktion [math]f: X \rightarrow Y[/math] heißt eine Funktion [math]g: Y \rightarrow X[/math] Linksinverse (oder Retraktion), wenn

[math]g \circ f = \mathrm{id}_X . \,\![/math]

Das heißt, die Funktion g erfüllt

[math]\text{Wenn }f(x) = y\text{, dann }g(y) = x . \,\![/math]

g muss also gleich der Umkehrfunktion von f im Wertebereich von f sein, kann aber beliebige Werte für Elemente aus Y annehmen, die nicht Resultat von f sind. Eine Funktion f hat Linksinverse genau dann, wenn sie injektiv (linkseindeutig) ist.

Eine Rechtsinverse (Koretraktion) von f (oder, bei Faserbündeln, ein Schnitt von f) ist eine Funktion [math]h: Y \rightarrow X[/math], so dass

[math]f \circ h = \mathrm{id}_Y . \,\![/math]

Das heißt, die Funktion h erfüllt

[math]\text{Wenn }h(y) = x\text{, dann }f(x) = y . \,\![/math]

[math]h(y)[/math] kann also jedes Element von X sein, das von f auf y abgebildet wird. Eine Funktion f hat Rechtsinverse genau dann, wenn sie surjektiv (rechtstotal) ist. (Die Konstruktion solch einer Inversen erfordert im Allgemeinen das Auswahlaxiom.)

Eine Funktion kann mehrere Links- oder Rechtsinverse haben; es gibt jedoch nur eine eindeutige Funktion, die zugleich Links- als auch Rechtsinverse ist.

Beispiele

Linksinverse treten oft als Inverse von Einbettungen auf.

Zum Beispiel sei f eine Funktion, die jedem Farbnamen ('rot', 'grün', 'blau' usw.) seine Farbe zuweist. Dann wäre ein Retrakt eine Funktion g, die für jede Farbe einen Farbnamen ergibt.

Als numerisches Beispiel sei f die Einbettung von [math]\mathbb{Z}[/math] in [math]\mathbb{Q}[/math]. g kann dann z. B. die größte ganze Zahl liefern, die kleiner oder gleich dem Argument ist.

Rechtsinverse treten oft als Funktionen auf, die Repräsentanten einer Menge bestimmen.

Sei beispielsweise [math]f\colon \text{Art} \rightarrow \text{Gattung}[/math] eine Funktion, die jeder Art ihre Gattung zuweist. Das Rechtsinverse h ist eine Funktion, die für jede Gattung eine typische Art benennt. Politische Vertretung liefert viele Beispiele. Hier könnte f etwa die Staatsangehörigkeit eines Menschen sein, h das Staatsoberhaupt eines Staates.

Als mathematisches Beispiel für ein Rechtsinverses wäre f eine Auswertungsfunktion, die Termen einen Wert zuweist (diese ausrechnet). So haben etwa die Terme '2/4', '3/6', '1-1/2' usw. alle denselben Wert 0,5. h wäre dann eine Funktion, die für jeden Wert einen typischen Term liefert, hier vielleicht '1/2'.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Helmut Sieber und Leopold Huber: Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien, Ernst Klett Verlag

Weblinks

 Wiktionary: Umkehrfunktion – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Kategorien: Mathematischer Grundbegriff

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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