Umgebungsbasis - LinkFang.de





Umgebungsbasis


Als Umgebungsbasis bezeichnet man in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ein spezielles Mengensystem von offenen Mengen. Über die Eigenschaften von Umgebungsbasen lassen sich spezielle Klassen von topologischen Räumen wie lokalkompakte Räume und lokalkonvexe Räume definieren. Außerdem greift das erste Abzählbarkeitsaxiom auf die Mächtigkeit der Umgebungsbasis zurück und impliziert damit grundlegende strukturelle topologische Eigenschaften. Wichtige Spezialfälle von Umgebungsbasen sind Nullumgebungsbasen und Umgebungsfilter.

Definition

Gegeben sei ein Topologischer Raum [math] (X, \tau) [/math]. Dann heißt eine Familie

[math] \mathcal U_x:= (U_{x,i})_{i \in I} [/math]

von Umgebungen von [math] x [/math] eine Umgebungsbasis von [math] x [/math], wenn jede Umgebung von [math] x [/math] eine Menge aus [math] \mathcal U_{x} [/math] enthält.

Beispiele

Betrachtet man den [math] \R^n [/math], versehen mit einer beliebigen Norm [math] \| \cdot \| [/math], so ist

[math] B_r(x):= \{y \in \R^n \, | \, \|x-y\| \lt r\} [/math]

die offene Kugel mit Radius [math] r [/math] um den Punkt [math] x [/math]. Eine Umgebungsbasis bezüglich der Normtopologie wird dann gebildet von

[math] \mathcal U_x:= \{B_r(x) \, | \, r \in (0, \infty) \} [/math].

In diesem Fall lässt sich auch eine abzählbare Umgebungsbasis definieren durch

[math] \mathcal U_x:= \{B_{\tfrac 1k}(x) \, | \, k \in \N \} [/math].

Analog lässt sich in jedem metrischen Raum [math] (X, d) [/math] eine (abzählbare) Umgebungsbasis bezüglich der von der Metrik erzeugten Topologie über die offenen Kugeln

[math] B_r(x):= \{y \in X \, | \, d(x,y) \lt r\} [/math]

definieren.

Spezialfälle

Nullumgebungsbasis

Auf einem topologischen Vektorraum [math] X [/math] wird eine Umgebungsbasis der Null eine Nullumgebungsbasis genannt. Für jeden Punkt [math] x \in X [/math] und jede Nullumgebungsbasis [math] \mathcal{U}_0 [/math] geht eine Umgebungsbasis [math] \mathcal{U}_x [/math] von [math] x [/math] durch entsprechende Translation hervor:

[math] \mathcal{U}_x := x + \mathcal{U}_0 \;. [/math]

Umgebungsfilter

Als Umgebungsfilter von [math] x [/math] wird die Menge aller Umgebungen von [math] x [/math] bezeichnet. Der Umgebungsfilter von [math] x [/math] ist folglich die größt möglich Umgebungsbasis von [math] x [/math] und dem Name entsprechend ein Filter.

Eigenschaften

Besitzt ein topologischer Raum eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis, so sagt man, dass er das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Solche Räume sind aus mathematischer Sicht "klein" und leichter zu handhaben.

Literatur


Kategorien: Keine Kategorien vorhanden!

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Umgebungsbasis (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.