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Tschebyschow-Polynom


Tschebyschow-Polynome, benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev bezeichnet, sind in der Mathematik rekursive Polynome. Es wird zwischen Tschebyschow-Polynomen erster Art [math]T_n(x)[/math] und Tschebyschow-Polynomen zweiter Art [math]U_n(x)[/math] unterschieden.

Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

[math]\left(1-x^2\right)\, y''-x \, y'+n^2 \, y = 0, [/math]

und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von

[math]\left(1-x^2\right)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0.[/math]

Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung.

Tschebyschow-Polynome erster Art

Die Funktionen

[math]\begin{align} y_g(x) &= 1 + \sum_{p=1}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(\left(2k\right)^2-n^2\right)}{(2p)!} x^{2p} = 1 + \sum_{p=1}^\infty (-1)^p \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(n^2-\left(2k\right)^2\right)}{(2p)!} x^{2p} \\ & = 1 - {n^2 \over 2!} \, x^2 + {n^2 \, \left(n^2-4\right) \over 4!} \, x^4 - {n^2 \, (n^2-4)\, \left(n^2-16\right) \over 6!} \, x^6 \pm \cdots \end{align}[/math]

und

[math]\begin{align} y_u(x) &= x + \sum_{p=1}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(\left(2k+1\right)^2-n^2\right)}{(2p+1)!} x^{2p+1} = x + \sum_{p=1}^\infty (-1)^p \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(n^2-\left(2k+1\right)^2\right)}{\left(2p+1\right)!} x^{2p+1}\\ & = x-{n^2-1 \over 3!} \, x^3 + {\left(n^2-1\right) \, \left(n^2-9\right) \over 5!} \, x^5 \mp \cdots \end{align}[/math]

bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.

Für ganzzahlige [math]n[/math] bricht jeweils eine dieser Reihen nach endlich vielen Gliedern ab, [math]y_g(x)[/math] für gerade und [math]y_u(x)[/math] für ungerade [math]n[/math], und man erhält Polynome als Lösung. Mit der Normierung [math]T_n(1)=1[/math] werden diese als Tschebyschow-Polynome [math]T_n(x)[/math] bezeichnet. Die ersten sieben Polynome dieser Art sind:

[math]\begin{align} T_0(x)&=1 \\ T_1(x)&=x \\ T_2(x)&=2 x^2 - 1 \\ T_3(x)&=4 x^3 - 3 x\\ T_4(x)&=8 x^4 - 8 x^2 + 1\\ T_5(x)&=16 x^5 - 20 x^3 + 5 x\\ T_6(x)&=32 x^6 - 48 x^4 + 18 x^2 - 1 \end{align}[/math]

Sie können in allgemeiner Weise aus dem rekursiven Zusammenhang

[math]T_{n+1}(x) = 2x \, T_n(x)-T_{n-1} (x) [/math]

berechnet werden. Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen bzw. der Hyperbelfunktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als

[math]T_n(x)=\begin{cases} \cos\left(n \, \arccos x\right) & \mathrm{f\ddot{u}r}\quad x \in [-1,1] \\ \cosh\left(n \, {\rm arcosh}(x) \right) & \mathrm{f\ddot{u}r}\quad x \gt 1 \\ (-1)^n \cosh\left(n \, {\rm arcosh}(-x) \right) & \mathrm{f\ddot{u}r}\quad x \lt -1 \end{cases}[/math]

oder

[math]T_n(\cos \theta)=\,\!\cos(n \theta)[/math]

Die [math]n[/math] Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms [math]T_n(x)[/math] sind gegeben durch

[math]\cos\left(\tfrac{2j+1}{2n}\,\pi\right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad j = 0, \ldots, n-1[/math]

Tschebyschow-Polynome [math]T_n(x)[/math] sind im geschlossenen Intervall [math][-1,1][/math] orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

[math]\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 f(x)\cdot g(x)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx[/math]

Man kann sich diese daher auch über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (mit Normierung) herleiten.

Anwendungen

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyscheff-Filtern verwendet. Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden. Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme.

Tschebyschow-Polynome zweiter Art

Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art [math]U_n(x)[/math] werden über eine rekursive Bildungsvorschrift definiert:

[math] \begin{align} U_0(x) & = 1 \\ U_1(x) & = 2x \\ U_{n+1}(x) & = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x) \end{align} [/math]

Die erzeugende Funktion für [math]U_n[/math] ist:

[math]\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}[/math]

Die ersten acht Polynome dieser Art sind:

[math]\begin{align} U_0(x) &= 1 \\ U_1(x) &= 2x \\ U_2(x) &= 4x^2 - 1 \\ U_3(x) &= 8x^3 - 4x \\ U_4(x) &= 16x^4 - 12x^2 + 1 \\ U_5(x) &= 32x^5 - 32x^3 + 6x \\ U_6(x) &= 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \\ U_7(x) &= 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \end{align}[/math]

Tschebyschow-Polynome [math]U_n(x)[/math] sind im abgeschlossenen Intervall [math][-1,1][/math] orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

[math]\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 f(x)\cdot g(x)\cdot{\sqrt{1-x^2}}\, dx[/math]

Historie

Erstmals veröffentlichte Tschebyschow seine Untersuchungen zu den Tschebyschow-Polynomen 1859 und 1881[1] in folgenden Aufsätzen:

  • Sur les questions de minima qui se rattachent a la représentation approximative des fonctions, 1859, Oeuvres Band I, Seite 273-378
  • Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable, 1881, Oeuvres Band II, Seite 335-356

Literatur

  • Il'ja N, Bronstein, Konstantin A, Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5., überarbeitete und erweiterte Auflage. Unveränderter Nachdruck. Harri Deutsch, Thun u. a. 2001, ISBN 3-8171-2005-2.

Einzelnachweise

  1. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory, McGraw-Hill Book Company, 1966, Library of Congress Catalog Card Number 65-25916, ISBN 007-010757-2, Seite 225

Quellen


Kategorien: Analytische Funktion | Numerische Mathematik

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Polynom (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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