Treppenfunktion - LinkFang.de





Treppenfunktion


Eine Funktion [math]f: X\rightarrow Y[/math] auf einem Intervall [math]X\,\subseteq \R[/math] heißt Treppenfunktion (oder fälschlicherweise auch einfache Funktion oder Elementarfunktion), wenn es paarweise disjunkte Intervalle [math]X_1, \ldots, X_n[/math] gibt, so dass

[math]X = \bigcup_{i = 1}^n X_i[/math]

und [math]f[/math] auf den Intervallen [math]X_1, \ldots, X_n[/math] konstant ist.

Treppenfunktionen benutzt man auch zur Approximation von Integralen. Das Integral einer Treppenfunktion wird durch

[math]\int_X f(x) \mathrm dx = \sum_{i = 1}^n y_i \ell(X_i)[/math]

definiert. Der Vorteil ist hier, dass man ohne Grenzwertprozess auskommt und nur endliche Summen hat. In der Summenformel bezeichnet [math]y_i[/math] den Wert von [math]f[/math] auf dem Intervall [math]X_i[/math] sowie [math]\ell(X_i)[/math] die Länge dieses Intervalls, also zum Beispiel für [math]X_i = [a_i, b_i][/math] die Differenz [math]\ell(X_i) = b_i - a_i[/math].

Bereits durch die einfache Definition des Integrals einer Treppenfunktion hat man ein starkes mathematisches Hilfsmittel gewonnen: Jede beschränkte, stetige Funktion [math]f: D \rightarrow Y[/math] mit [math]D, Y\subseteq \R[/math], kann beliebig genau durch eine Treppenfunktion approximiert werden. Also kann auch das Integral dieser Funktion beliebig genau approximiert werden. Diese Tatsache ist ein wichtiges Fundament für die Definition des Riemann-Integrals. Auf diese Weise hat Jean Gaston Darboux die Einführung des Riemann-Integrals vereinfacht.

Beispiele

Weblinks


Kategorien: Keine Kategorien vorhanden!

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Treppenfunktion (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.