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Transponierte Matrix


Die transponierte Matrix, gespiegelte Matrix oder gestürzte Matrix ist in der Mathematik diejenige Matrix, die durch Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten einer gegebenen Matrix entsteht. Die erste Zeile der transponierten Matrix entspricht der ersten Spalte der Ausgangsmatrix, die zweite Zeile der zweiten Spalte und so weiter. Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale. Die Umwandlung einer Matrix in ihre transponierte Matrix wird Transponierung, Transposition oder Stürzen der Matrix genannt.

Die Transpositionsabbildung, die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet, ist stets bijektiv, linear und selbstinvers. Bezüglich der Matrizenaddition stellt sie einen Isomorphismus dar, bezüglich der Matrizenmultiplikation hingegen einen Antiisomorphismus, das heißt, die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen kehrt sich nach Transponierung um. Viele Kenngrößen von Matrizen, wie Spur, Rang, Determinante und Eigenwerte, bleiben unter Transponierung erhalten.

In der linearen Algebra wird die transponierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen eingesetzt. Die transponierte Matrix ist auch die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung einer linearen Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen bezüglich der jeweiligen Dualbasen. Weiterhin ist sie auch die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen reellen Skalarprodukträumen bezüglich der jeweiligen Orthonormalbasen. Das Konzept der Transponierung einer Matrix wurde im Jahr 1858 von dem britischen Mathematiker Arthur Cayley eingeführt.

Definition

Ist [math]K[/math] ein Körper (in der Praxis meist die reellen oder komplexen Zahlen), dann ist die zu einer gegebenen Matrix

[math]A = (a_{ij})_{ij} = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \in K^{m \times n}[/math]

transponierte Matrix definiert als

[math]A^T = (a_{ij})_{ji} = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{m1} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \in K^{n \times m}[/math].

Die transponierte Matrix [math]A^T[/math] ergibt sich also dadurch, dass die Rollen von Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix [math]A[/math] vertauscht werden. Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale [math]a_{11}, a_{22},\dots,a_{kk}[/math] mit [math]k=\min\{m,n\}[/math]. Gelegentlich wird die transponierte Matrix auch durch [math]A^\top[/math], [math]A^t[/math] oder [math]A'[/math] notiert.

Beispiele

Durch Transponierung einer [math](1 \times 3)[/math]-Matrix (eines Zeilenvektors) entsteht eine [math](3 \times 1)[/math]-Matrix (ein Spaltenvektor) und umgekehrt:

[math]\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}[/math]

Eine quadratische Matrix behält durch Transponierung ihre Größe, jedoch werden alle Einträge an der Hauptdiagonale gespiegelt:

[math]\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} ,\quad \begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 9 & 6 & 3 \\ 8 & 5 & 2 \\ 7 & 4 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Durch Transponierung einer [math](3 \times 2)[/math]-Matrix entsteht eine [math](2 \times 3)[/math]-Matrix, bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix entspricht:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 8 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{pmatrix}[/math]

Eigenschaften

Summe

Für die Transponierte der Summe zweier Matrizen [math]A,B \in K^{m \times n}[/math] gleicher Größe gilt

[math](A+B)^T = (a_{ij} + b_{ij})_{ji} = (a_{ij})_{ji} + (b_{ij})_{ji} = A^T + B^T[/math].

Allgemein ergibt sich die Summe von [math]n[/math] Matrizen [math]A_1, \ldots , A_n \in K^{m \times n}[/math] gleicher Größe zu

[math](A_1 + A_2 + \ldots + A_n)^T = A^T_1 + A^T_2 + \ldots + A^T_n[/math].

Die Transponierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Transponierten.

Skalarmultiplikation

Für die Transponierte des Produkts einer Matrix [math]A \in K^{m \times n}[/math] mit einem Skalar [math]c \in K[/math] gilt

[math](c \cdot A)^T = (c \cdot a_{ij})_{ji} = c \cdot (a_{ij})_{ji} = c \cdot A^T[/math].

Die Transponierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des Skalars mit der transponierten Matrix.

Zweifache Transposition

Für die Transponierte der Transponierten einer Matrix [math]A \in K^{m \times n}[/math] gilt

[math]\left(A^T\right)^T = (a_{ij})_{ij} = A[/math].

Durch zweifache Transposition ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix.

Produkt

Für die Transponierte des Produkts einer Matrix [math]A \in K^{m \times n}[/math] mit einer Matrix [math]B \in K^{n \times l}[/math] gilt

[math](A \cdot B)^T = \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot b_{jk} \right)_{ki} = \left( \sum_{j=1}^n b_{jk} \cdot a_{ij} \right)_{ki} = B^T \cdot A^T[/math].

Allgemein ergibt sich für das Produkt von [math]n[/math] Matrizen [math]A_1, \ldots , A_n[/math] passender Größe

[math](A_1 \cdot A_2 \cdot \ldots \cdot A_n)^T = A^T_n \cdot \ldots \cdot A^T_2 \cdot A^T_1[/math].

Die Transponierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Transponierten, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

Inverse

Die Transponierte einer regulären Matrix [math]A \in K^{n \times n}[/math] ist ebenfalls regulär. Für die Transponierte der Inversen einer regulären Matrix gilt dabei

[math]\left(A^{-1}\right)^T = \left(A^T\right)^{-1}[/math],

denn mit der Einheitsmatrix [math]I \in K^{n \times n}[/math] ergibt sich

[math]A^T \cdot \left( A^{-1} \right)^T = \left( A^{-1} \cdot A \right)^T = I^T = I[/math]

und daher ist [math](A^{-1})^T[/math] die inverse Matrix zu [math]A^T[/math]. Die Transponierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der transponierten Matrix. Diese Matrix wird gelegentlich auch mit [math]A^{-T}[/math] bezeichnet.[1]

Exponential und Logarithmus

Für das Matrixexponential der Transponierten einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix [math]A \in \mathbb{K}^{n \times n}[/math] gilt

[math]\exp (A^T) = (\exp A)^T[/math].

Entsprechend gilt für den Matrixlogarithmus der Transponierten einer regulären reellen oder komplexen Matrix

[math]\ln(A^T) = (\ln A)^T[/math].

Transpositionsabbildung

Die Abbildung

[math]K^{m \times n} \to K^{n \times m}, \quad A \mapsto A^T[/math],

die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet, wird Transpositionsabbildung genannt. Aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten besitzt die Transpositionsabbildung die folgenden Eigenschaften:

Blockmatrizen

Die Transponierte einer Blockmatrix mit [math]r[/math] Zeilen- und [math]s[/math] Spaltenpartitionen ist durch

[math] \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1s} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{r1} & \cdots & A_{rs} \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} A_{11}^T & \cdots & A_{r1}^T \\ \vdots & & \vdots \\ A_{1s}^T & \cdots & A_{rs}^T \end{pmatrix} [/math]

gegeben. Sie entsteht durch Spiegelung aller Blöcke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Transposition jedes Blocks.

Kenngrößen

Rang

Für eine Matrix [math]A \in K^{m \times n}[/math] ist der Rang der transponierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix, das heißt

[math]\operatorname{rang}(A^T) = \operatorname{rang}(A)[/math].

Das Bild der Abbildung [math]x \mapsto A x[/math] wird dabei von den Spaltenvektoren von [math]A[/math] aufgespannt, während das Bild der Abbildung [math]x \mapsto A^T x[/math] von den Zeilenvektoren von [math]A[/math] aufgespannt wird. Die Dimensionen dieser beiden Bilder stimmen dabei stets überein.

Spur

Für eine quadratische Matrix [math]A \in K^{n \times n}[/math] ist die Spur (die Summe der Hauptdiagonalelemente) der transponierten Matrix gleich der Spur der Ausgangsmatrix, das heißt

[math]\operatorname{spur}(A^T) = \operatorname{spur}(A)[/math],

denn die Diagonalelemente der transponierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix überein.

Determinante

Für eine quadratische Matrix [math]A \in K^{n \times n}[/math] ist die Determinante der transponierten Matrix gleich der Determinante der Ausgangsmatrix, das heißt

[math]\det(A^T) = \det(A)[/math].

Dies folgt aus der Leibniz-Formel für Determinanten über

[math]\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} \cdots a_{n, \sigma(n)} \right) = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(n), n} \right) = \det(A^T)[/math],

wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe [math]S_n[/math] läuft und [math]\operatorname{sgn}(\sigma)[/math] das Vorzeichen der Permutation [math]\sigma[/math] bezeichnet.

Spektrum

Für eine quadratische Matrix [math]A \in K^{n \times n}[/math] ist aufgrund der Invarianz der Determinante unter Transposition auch das charakteristische Polynom der transponierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix identisch, denn

[math]\chi_{A^T}(\lambda) = \det(\lambda I - A^T) = \det((\lambda I - A^T)^T) = \det(\lambda I - A) = \chi_{A}(\lambda)[/math].

Daher stimmen auch die Eigenwerte der transponierten Matrix mit denen der Ausgangsmatrix überein, das heißt, für die jeweiligen Spektren gilt

[math]\sigma(A^T) = \sigma(A)[/math].

Die Eigenvektoren und Eigenräume müssen jedoch nicht übereinstimmen.

Ähnlichkeit

Jede quadratische Matrix [math]A \in K^{n \times n}[/math] ist ähnlich ihrer Transponierten, das heißt, es gibt eine reguläre Matrix [math]S \in K^{n \times n}[/math], sodass

[math]A^T = S^{-1} A S[/math]

gilt. Die Matrix [math]S[/math] kann dabei sogar symmetrisch gewählt werden.[3] Daraus folgt unter anderem, dass eine quadratische Matrix und ihre Transponierte das gleiche Minimalpolynom und, sofern ihr charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, auch die gleiche jordansche Normalform haben.

Normen

Die euklidische Norm eines reellen Vektors [math]x \in \R^n[/math] ist durch

[math]\| x \|_2 = \sqrt{x^T x}[/math]

gegeben. Für die Frobeniusnorm und die Spektralnorm der Transponierten einer reellen oder komplexen Matrix [math]A \in {\mathbb K}^{m \times n}[/math] gilt

[math]\| A^T \|_F = \| A \|_F[/math]   und   [math]\| A^T \|_2 = \| A \|_2[/math].

Die Zeilensummen- und die Spaltensummennorm der Transponierten und der Ausgangsmatrix stehen folgendermaßen in Beziehung:

[math]\| A^T \|_\infty = \| A \|_1[/math]   und   [math]\| A^T \|_1 = \| A \|_\infty[/math].

Skalarprodukte

Das Standardskalarprodukt [math]\langle \cdot, \cdot \rangle[/math] zweier reeller Vektoren [math]x,y \in \R^n[/math] ist durch

[math]\langle x,y \rangle = x^T y[/math]

gegeben. Bezüglich des Standardskalarprodukts weisen eine reelle Matrix [math]A \in \R^{m \times n}[/math] und ihre Transponierte die Verschiebungseigenschaft

[math]\langle A x,y \rangle = \langle x,A^T y \rangle[/math]

für alle Vektoren [math]x \in \R^n[/math] und [math]y \in \R^m[/math] auf. Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt im [math]\R^m[/math] und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt im [math]\R^n[/math]. Für das Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen [math]A,B \in \R^{m \times n}[/math] gilt

[math]\langle A, B \rangle_F = \operatorname{spur}(A^T B) = \operatorname{spur}(B A^T) = \operatorname{spur}(A B^T) = \langle A^T, B^T \rangle_F[/math],

da Matrizen unter der Spur zyklisch vertauschbar sind.

Verwendung

Spezielle Matrizen

Die transponierte Matrix wird in der linearen Algebra in einer Reihe von Definitionen verwendet:

  • Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, die gleich ihrer Transponierten ist, das heißt [math]A^T = A[/math].
  • Eine schiefsymmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist, das heißt [math]A^T = -A[/math].
  • Eine hermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich ihrer Konjugierten ist, das heißt [math]A^T = \bar{A}[/math].
  • Eine schiefhermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich dem Negativen ihrer Konjugierten ist, das heißt [math]A^T = -\bar{A}[/math].
  • Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Transponierte gleich ihrer Inversen ist, das heißt [math]A^T = A^{-1}[/math].
  • Eine (reelle) normale Matrix ist eine reelle quadratische Matrix, die mit ihrer Transponierten kommutiert, das heißt [math]A^T A = A A^T[/math].
  • Für eine beliebige reelle Matrix sind die beiden Gram-Matrizen [math]A^T A[/math] und [math]A A^T[/math] stets symmetrisch und positiv semidefinit.
  • Das dyadische Produkt zweier Vektoren [math]x[/math] und [math]y[/math] ergibt die Matrix [math]x y^T[/math].

Bilinearformen

Sind [math]V[/math] und [math]W[/math] endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper [math]K[/math], dann lässt sich jede Bilinearform [math]b \colon V \times W \to K[/math] nach Wahl einer Basis [math]\{ v_1, \ldots , v_m \}[/math] für [math]V[/math] und einer Basis [math]\{ w_1, \ldots , w_n \}[/math] für [math]W[/math] durch die Darstellungsmatrix

[math]A_b = ( b(v_i, w_j) )_{ij} \in K^{m \times n}[/math]

beschreiben. Sind dabei [math]x = (x_1, \ldots , x_m)^T[/math] und [math]y = (y_1, \ldots , y_n)^T[/math] die Koordinatenvektoren zweier Vektoren [math]v\in V[/math] und [math]w\in W[/math], dann ergibt sich der Wert der Bilinearform als

[math]b(v,w)=x^T A_b y[/math].

Sind nun [math]\{ v'_1, \ldots , v'_m \}[/math] und [math]\{ w'_1, \ldots , w'_n \}[/math] weitere Basen jeweils von [math]V[/math] und [math]W[/math], dann gilt für die entsprechende Darstellungsmatrix

[math]A_{b'} = S^T A_b T[/math],

wobei [math]S \in K^{m \times m}[/math] die Basiswechselmatrix in [math]V[/math] und [math]T \in K^{n \times n}[/math] die Basiswechselmatrix in [math]W[/math] sind. Zwei quadratische Matrizen [math]A,B \in K^{n \times n}[/math] sind daher genau dann zueinander kongruent, es gilt also

[math]A = S^T B S[/math]

mit einer regulären Matrix [math]S \in K^{n \times n}[/math], wenn sie die gleiche Bilinearform [math]b \colon V \times V \to K[/math] bezüglich gegebenenfalls unterschiedlicher Basen darstellen.

Duale Abbildungen

Sind wieder [math]V[/math] und [math]W[/math] endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper [math]K[/math] mit zugehörigen Dualräumen [math]V^\ast[/math] und [math]W^\ast[/math], dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung [math]f \colon V \to W[/math] zugehörige duale Abbildung [math]f^\ast \colon W^\ast \to V^\ast[/math] durch

[math]f^{\ast}(\varphi) = \varphi \circ f[/math]

für alle [math]\varphi \in W^\ast[/math] charakterisiert. Ist nun [math]\{ v_1, \ldots , v_m \}[/math] eine Basis für [math]V[/math] und [math]\{ w_1, \ldots , w_n \}[/math] eine Basis für [math]W[/math] mit zugehörigen dualen Basen [math]\{ v^\ast_1, \ldots , v^\ast_m \}[/math] und [math]\{ w^\ast_1, \ldots , w^\ast_n \}[/math], dann gilt für die Abbildungsmatrizen [math]A_f \in K^{n \times m}[/math] von [math]f[/math] und [math]A_{f^\ast} \in K^{m \times n}[/math] von [math]f^\ast[/math] die Beziehung

[math]A_{f^\ast} = A^T_f[/math].

Die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung bezüglich der dualen Basen ist demnach gerade die Transponierte der Abbildungsmatrix der primalen Abbildung bezüglich der primalen Basen. In der Physik kommt dieses Konzept bei kovarianten und kontravarianten vektoriellen Größen zum Einsatz.

Adjungierte Abbildungen

Sind nun [math]V[/math] und [math]W[/math] endlichdimensionale reelle Skalarprodukträume, dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung [math]f \colon V \to W[/math] zugehörige adjungierte Abbildung [math]f^\ast \colon W \to V[/math] durch die Beziehung

[math]\langle f(v), w \rangle = \langle v, f^\ast(w) \rangle[/math]

für alle [math]v \in V[/math] und [math]w \in W[/math] charakterisiert. Ist weiter [math]\{ v_1, \ldots, v_m \}[/math] eine Orthonormalbasis von [math]V[/math], [math]\{ w_1, \ldots , w_n \}[/math] eine Orthonormalbasis von [math]W[/math] und [math]A_f \in \R^{n \times m}[/math] die Abbildungsmatrix von [math]f[/math] bezüglich dieser Basen, dann ist die Abbildungsmatrix [math]A_{f^\ast} \in \R^{m \times n}[/math]von [math]f^\ast[/math] bezüglich dieser Basen gerade

[math]A_{f^\ast} = A_f^T[/math].

Bei reellen Matrizen ist demnach die zu einer gegebenen Matrix adjungierte Matrix gerade die transponierte Matrix, also [math]A^\ast = A^T[/math]. In der Funktionalanalysis wird dieses Konzept auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen verallgemeinert.

Permutationen

Durch die transponierte Matrix werden auch spezielle Permutationen definiert. Werden in eine [math](m \times n)[/math]-Matrix zeilenweise der Reihe nach die Zahlen von [math]1[/math] bis [math]m \cdot n[/math] geschrieben und dann spaltenweise wieder abgelesen (was genau einer Transponierung der Matrix entspricht), ergibt sich eine Permutation [math]\pi[/math] dieser Zahlen, die durch

[math]\pi(n (i-1) + j) = i + m (j-1)[/math]

für [math]i=1, \ldots , m[/math] und [math]j=1, \ldots , n [/math] angegeben werden kann. Die Anzahl der Fehlstände und damit auch das Vorzeichen von [math]\pi[/math] lassen sich explizit durch

[math]| \operatorname{inv}(\pi) | = \binom{m}{2}\binom{n}{2}[/math]   und   [math]\operatorname{sgn}(\pi) = (-1)^{\tbinom{m}{2}\tbinom{n}{2}}[/math]

bestimmen. In der Zahlentheorie werden diese Permutationen beispielsweise im Lemma von Zolotareff zum Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes verwendet.[4]

Verallgemeinerungen

Allgemeiner können auch Matrizen mit Einträgen aus einem Ring (gegebenenfalls mit Eins) betrachtet werden, wobei ein Großteil der Eigenschaften transponierter Matrizen erhalten bleibt. In beliebigen Ringen muss jedoch der Spaltenrang einer Matrix nicht mit ihrem Zeilenrang übereinstimmen. Die Produktformel und die Determinantendarstellung gelten auch nur in kommutativen Ringen.

Siehe auch

Literatur

Originalarbeit

  • Arthur Cayley: A memoir on the theory of matrices. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Band 148, 1858, S. 17–37 (Online ).

Einzelnachweise

  1. Christian Voigt, Jürgen Adamy: Formelsammlung der Matrizenrechnung. Oldenbourg Verlag, 2007, S. 9.
  2. Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I. Springer, 2013, S. 153.
  3. O. Taussky, H. Zassenhaus: On the similarity transformation of matrix and its transpose. In: Pacific J. Math. Band 9, 1959, S. 893–896.
  4. Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Springer, 2000, S. 32.

Weblinks


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