Transferfunktionsmodell - LinkFang.de





Transferfunktionsmodell


Unter einem Transferfunktionsmodell wird in der Zeitreihenanalyse ein univariates Zeitreihenmodell verstanden, bei dem die Zielvariable [math]Y_t[/math] außer von sich selbst und einer unbeobachtbaren Schockvariablen [math]Z_t[/math] von weiteren beobachtbaren Variablen [math]X_mt[/math] dynamisch abhängig sein kann. Im Gegensatz zu Vektorprozessen finden nur ein Einfluss der [math]X_mt[/math] auf [math]Y_t[/math] statt und nicht umgekehrt. Ein solches Modell kann auch als univariates dynamisches Modell mit Inputvariablen angesehen werden. Formal lässt sich folgende Darstellung wählen:

[math]Y_t=\nu(L)X_t+\frac{\Theta(L)}{\Phi(L)}Z_t[/math]

Dabei ist [math]X_t[/math] die Inputvariable. Im Gegensatz zum Interventionsmodell kann diese Inputvariable mehr Ausprägungen haben als die Indikatorfunktion (nur 0 und 1). [math]Y_t[/math] kann dabei als Outputvariable bezeichnet werden. [math]Y_t=\nu(L)[/math] wird als Transferfunktion bezeichnet. Diese Funktion ist in ihrer Wirkung auf die Zeitreihe mit der Impuls-Antwort-Funktion des Interventionsmodells vergleichbar. Das Transferfunktionsmodell ist stabil, wenn die Impuls-Antwort-Gewichte absolut summierbar sind. Somit würde ein beschränkter Input auch einen beschränkten Output erzeugen. Das Modell heißt kausal, wenn [math]Y_t[/math] keine vorlaufende Funktion von [math]X_t[/math] ist. X ist bezüglich Y exogen, und es gibt keine Feedback-Beziehung von Y zu X.

Zur Identifikation des Modells wird auf das Instrument der Kreuzkorrelationsfunktion zurückgegriffen. Diese Funktion ist im Gegensatz zur Autokorrelationsfunktion nicht symmetrisch um l. Die Beziehung zwischen der Kreuzkorrelations- und der Transferfunktion ist recht kompliziert:

[math]\rho(l)=\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}[\nu_0\rho_X(l)+\nu_1\rho_X(l-1)+\nu_2\rho_X(l-2)+...][/math].

Das hier zu lösende simultane Gleichungssystem ist recht kompliziert. Einfacher hätte man es, wenn folgender Zusammenhang herstellbar wäre:

[math]\nu=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\rho_{XY}(l)[/math].

Damit wäre [math]\nu_l[/math] proportional zum Kreuzkorrelationskoeffizienten [math]\rho_{XY}(l)[/math]. Dieses kann erreicht werden, in dem man den Input so transformiert, dass dieser Weißes Rauschen wird. Bei der als "Vorweißen" genannten Transformation wird davon ausgegangen, dass die Inputreihe [math]X_t[/math] als ARMA-Prozess aufgefasst wird:

[math]\Phi_Y(L)X_t=\Theta_X(L)\alpha_t[/math]. Nach umformen ergibt sich die vorgeweißte Inputreihe:

[math]\alpha_t=\frac{\Phi_X(L)}{\Theta_X(L)}X_t[/math]

Nun muss noch dieselbe Transformation auf die Outputvariable [math]Y_t[/math] angewandt werden:

[math]\beta_t=\frac{\Phi_X(L)}{\Theta_X(L)}Y_t[/math].

Das ursprüngliche Transferfunktionsmodell lässt sich nun als:

[math]\beta_t=\nu(L)\alpha_t+\varepsilon_t[/math] auffassen. [math]\alpha_t[/math] ist dabei Weißes Rauschen. [math]\beta_t[/math] und [math]\varepsilon_t[/math] sind in der Regel kein Weißes Rauschen. Für den Kreuzkorrelationskoeffizienten der transformierten Zeitreihe erhält man:

[math]\nu=\frac{\sigma_\beta}{\sigma_\alpha}\rho_{\alpha\beta}(l)[/math].

Mit diesem Ergebnis kann die Schätzung wie im ARMA-Modell erfolgen.


Kategorien: Zeitreihenanalyse

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Transferfunktionsmodell (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.