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Träger (Mathematik)


Dieser Artikel behandelt den Träger von Funktionen, Distributionen, Schnitten und Garben. Für den Träger eines Maßes siehe Träger (Maßtheorie).

In der Mathematik bezeichnet der Träger (engl. support) meist die abgeschlossene Hülle der „Nichtnullstellenmenge“ einer Funktion oder anderer Objekte.

Analysis

Träger einer Funktion

Der Träger von [math]f[/math] wird meist mit [math]\operatorname{Tr}(f)[/math] oder [math]\operatorname{supp}(f)[/math] bezeichnet.

Sei [math]A[/math] ein topologischer Raum und [math]f\colon A \to \mathbb{R}[/math] eine Funktion. Der Träger von [math]f[/math] besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von [math]f[/math], formal:

[math] \operatorname{Tr}(f) = \operatorname{supp}(f) := \overline{\{x\in A \mid f(x)\ne 0\}} [/math]

Träger einer Distribution

Sei [math]\Omega[/math] eine offene Teilmenge des [math]\mathbb{R}^d[/math] und [math]T \in \mathcal{D}'(\Omega)[/math] eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt [math]x_0 \in \Omega[/math] zum Träger von [math]T[/math] gehört, und schreibt [math]x_0 \in \mathrm{supp}(T)[/math], wenn für jede offene Umgebung [math]U \subset \Omega[/math] von [math]x_0[/math] eine Funktion [math]\phi \in \mathcal{D}(U)[/math] existiert mit [math]\; T(\phi) \neq 0[/math].

Falls [math]T[/math] eine reguläre Distribution [math]T=T_f[/math] mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

Beispiele

Ist [math]f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math] mit [math]f(x) = x[/math], dann ist [math]\operatorname{supp}(f) = \mathbb{R}[/math], denn die Nichtnullstellenmenge von [math]f[/math] ist [math]\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}[/math], deren Abschluss ganz [math]\mathbb{R}[/math] ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist [math]f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math] mit [math]f(x) = 1[/math], falls [math]\left| x \right| \lt 1[/math], sonst [math]0[/math], dann ist [math]\operatorname{supp}(f)[/math] die Menge [math]\left\{ x : \left| x \right| \leq 1 \right\}[/math].

Ist [math]\chi_\mathbb{Q}[/math] die charakteristische Funktion von [math]\mathbb{Q}: \chi_\mathbb{Q}(x) = 1[/math], falls [math]x \in \mathbb{Q}[/math], und [math]\chi_\mathbb{Q}(x) = 0[/math], falls [math] x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}[/math], dann ist der Träger [math]\mathbb{R}[/math], also der Abschluss von [math]\mathbb{Q}[/math].

Sei [math]U[/math] eine offene Teilmenge des [math]\mathbb{R}^d[/math]. Die Menge aller Stetigen Funktionen von [math]U[/math] nach [math]\mathbb{R}[/math] mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit [math]C_0 (U)[/math] bezeichnet wird.

Die Menge [math]C_0^\infty (U)[/math] aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in [math]U[/math] spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution [math]\delta (f) := f(0)[/math] hat den Träger [math]\left\{ 0 \right\}[/math], denn mit [math]\omega := \mathbb{R}^d \setminus \left\{ 0 \right\}[/math] gilt: Ist [math]f[/math] aus [math]C_0^\infty ( \omega )[/math], dann ist [math]\delta (f) = 0[/math].

Garbentheorie

Es sei [math]F[/math] eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum [math]X[/math].

Träger eines Schnittes

Für eine offene Teilmenge [math]U\subseteq X[/math] und einen Schnitt [math]s\in\Gamma(U,F)[/math] heißt die Menge derjenigen Punkte [math]x\in X[/math], für die das Bild von [math]s[/math] im Halm [math]F_x[/math] ungleich null ist, der Träger von [math]s[/math], meist mit [math]\mathrm{supp}\,s[/math] oder [math]|s|[/math] bezeichnet.

Der Träger eines Schnittes ist stets abgeschlossen.

Träger einer Garbe

Der Träger von [math]F[/math] selbst ist die Menge der Punkte [math]x\in X[/math], für die der Halm [math]F_x[/math] ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

Literatur

  • Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.

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