Thomsonsche Schwingungsgleichung - LinkFang.de





Thomsonsche Schwingungsgleichung


Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz [math]f_0[/math] eines Schwingkreises (Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreise) mit der Kapazität C und der Induktivität L berechnen. Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson erstmals formuliert und lautet:

[math]f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[/math]

Oder umgeformt für die Periodendauer (Schwingungszeit):

[math]T = \frac{1}{f_0} = 2\pi\sqrt{LC}[/math]

Herleitung

Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Serienwiderstand. Der kapazitive Widerstand des Kondensators und induktiver Widerstand der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null:

[math]X_L + X_C = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0[/math]
[math]\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}[/math]
[math]2\pi f_0 L = \frac{1}{2\pi f_0 C}[/math], da gilt [math] \omega=2 \pi f[/math]
[math]{f_0}^2 = {\frac{1}{4\pi^2LC}}[/math]
[math]f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[/math], üblich ist auch die Form: [math]\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}[/math]

Herleitung nach dem Energieerhaltungssatz

Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant.

[math]\!\,E_\mathrm{mag}(t)+E_{\rm el}(t) = E_{\rm Gesamt}[/math]
[math]E_\mathrm{mag}[/math]: magnetische Feldenergie der Spule
[math]E_\mathrm{el}[/math]: elektrische Feldenergie des Kondensators
[math]E_\mathrm{Gesamt}[/math]: Gesamtenergie des Systems (konstant)

Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:

[math]\frac{1}{2}LI^2(t) + \frac{1}{2C}Q^2(t) = E_\mathrm{Gesamt}[/math]

Aus

[math]I(t) = \frac{dQ(t)}{dt} = \dot Q(t)[/math]

folgt:

[math]\frac{1}{2}L\dot Q^2(t) + \frac{1}{2C}Q^2(t) = E_\mathrm{Gesamt}[/math]

Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:

[math]L\dot Q \ddot Q(t)+\frac{1}{C}Q \dot Q(t) = 0[/math]
[math]I(t)\left(L \ddot Q + \frac{1}{C}Q(t)\right) = 0[/math]
[math]L \ddot Q + \frac{1}{C}Q(t) = 0[/math], da im Schwingkreis gilt: [math]I(t) \ne 0[/math].

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen [math]Q(t)[/math] und [math]\ddot Q(t)[/math] herstellen. Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Lösungsansatz, da sie sich auf Grund ihrer Periodizität gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet.

[math]Q(t) = \hat Q \cdot \sin(\omega t + \varphi)[/math]
[math]\dot Q(t) = \omega \hat Q \cdot \cos(\omega t + \varphi)[/math]
[math]\ddot Q(t) = -\omega^2 \hat Q \cdot \sin(\omega t + \varphi) = -\omega^2 \cdot Q(t)[/math]
[math]\hat Q[/math]: maximale Ladung (Amplitude)
[math]\omega[/math]: Kreisfrequenz
[math]\varphi[/math]: Phasenverschiebung

Durch Einsetzen ergibt sich:

[math]\frac{1}{C}Q(t)-\omega^2 L Q(t) = 0[/math]
[math]Q(t)\left(\frac{1}{C} - \omega^2 L\right) = 0[/math]
[math]\frac{1}{C} - \omega^2 L = 0[/math], da im Schwingkreis gilt: [math]Q(t) \ne 0[/math]

Daraus folgt mit [math]\omega = 2\pi f[/math]:

[math]\frac{1}{C} - 4 \pi^2 f_0^2 L = 0[/math]
[math]{f_0}^2 = {\frac{1}{4\pi^2LC}}[/math]
[math]f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[/math]

Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur für Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien muss, ausgehend von [math]X_L = X_C[/math], die Frequenz abgeleitet werden.

Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet – die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist. Bei nicht zu großer Dämpfung kann die beim Parallelschwingkreis veränderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand RL von L berechnet werden:

[math]\omega_D = \omega_0{\sqrt{1-R_L^2 \frac{C}L}}[/math]

Literatur

  • Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 12. Auflage. Band 1. Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4.

Weblinks


Kategorien: William Thomson, 1. Baron Kelvin | Theoretische Elektrotechnik | Elektrodynamik

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Thomsonsche Schwingungsgleichung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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