Teilersumme - LinkFang.de





Teilersumme


Unter der Teilersumme σ einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also 1+2+3+6 = 12.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

Definition 1: Summe aller Teiler

Seien [math]t_1, t_2, ..., t_k[/math] alle Teiler der natürlichen Zahl n, dann nennt man [math]\sigma(n) = t_1+t_2+...+t_k[/math] die Teilersumme von n. Dabei sind 1 und n selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion σ heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

[math]\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12[/math]

Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler von n ohne die Zahl n selbst und wir bezeichnen diese Summe mit [math]\sigma^*(n)[/math].

Beispiel:

[math]\sigma^*(6) = 1+2+3 = 6[/math]

Offensichtlich gilt die Beziehung:

[math]\sigma(n)-n = \sigma^*(n)[/math]

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine natürliche Zahl n > 1 heißt

defizient oder teilerarm, wenn [math]\sigma^*(n) \lt n[/math],
abundant oder teilerreich, wenn [math]\sigma^*(n) \gt n[/math],
vollkommen, wenn [math]\sigma^*(n) = n[/math].

Beispiele:

[math]\sigma^*(6) = 1+2+3=6[/math], d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
[math]\sigma^*(12) = 1+2+3+4+6 = 16 \gt 12[/math], d. h. 12 ist abundant.
[math]\sigma^*(10) = 1+2+5 = 8 \lt 10[/math], d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Sei n eine Primzahl. Dann gilt:

[math]\sigma(n) = n+1[/math]

Beweis: Da n eine Primzahl ist, sind 1 und n die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei n eine Primzahl. Dann gilt:

[math]\sigma(n^k) = \frac{n^{k+1}-1}{n-1}[/math]

Beweis: Da n eine Primzahl ist, lauten die Teiler von nk: n0, n1, …, nk. Die Summe ist eine geometrische Reihe. Aus der Summenformel für eine geometrische Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

[math]\sigma(2^3) = {{2^4-1} \over {2-1}} = {{16-1} \over 1} = 15[/math]
[math]\sigma(8) = 1+2+4+8 = 15[/math]

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

Seien a und b verschiedene Primzahlen. Dann gilt:

[math]\sigma(a\cdot b) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)[/math]

Beweis: Die Zahl ab besitzt die vier verschiedenen Teiler 1, a, b und ab. Daraus folgt:

[math]\sigma(a \cdot b) = 1 + a + b + ab = (a+1)(b+1) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)[/math]

Beispiel:

[math]\sigma(3 \cdot 5) = \sigma(15) = 1+3+5+15 = 24[/math]
[math]\sigma(3) \cdot \sigma(5) = (1+3) \cdot (1+5) = 4 \cdot 6 = 24[/math]

Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 2 und Satz 3

Seien [math]p_1, p_2, ..., p_r[/math] verschiedene Primzahlen und [math]k_1, k_2, ..., k_r[/math] natürliche Zahlen. Ferner sei [math]n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot\ldots\cdot p_r^{k_r}[/math]. Dann gilt:

[math] \sigma(n) = \frac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1} \cdot\ldots\cdot \frac{p_r^{k_r+1}-1}{p_r-1} [/math]

Satz von Thabit

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine feste natürliche Zahl n seien x = 3·2n-1, y = 3·2n-1-1 und z = 9·22n-1-1.

Wenn x, y und z Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen a = 2n·x·y und b = 2n·z befreundet, d. h. [math]\sigma^*(a) = b[/math] und [math]\sigma^*(b) = a[/math].

Beweis:

σ*(a) = σ(a) - a
= σ(2n·x·y) - a
= (2n+1-1)(x+1)(y+1) - a (Satz 4)
= (2n+1-1)(3·2n)(3·2n-1) - 2n(3·2n-1)(3·2n-1-1)
= (2n+1-1)·9·22n-1 - 2n(9·22n-1-6·2n-1-3·2n-1+1)
= 2·2n·9·22n-1-9·2n·2n-1-2n(9·22n-1-9·2n-1+1)
= 2n(18·22n-1-9·2n-1-9·22n-1+9·2n-1-1)
= 2n(9·22n-1-1)
= 2n·z
= b

Analog zeigt man [math]\sigma^*(b) = a[/math].

Teilersumme als endliche Reihe

Für jede natürliche Zahl [math]n[/math] kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von [math]n[/math] explizit Bezug genommen wird:

[math]\sigma(n) =\sum_{\mu=1}^n\sum_{\nu=1}^\mu \cos{2\pi\frac{\nu n}{\mu}}[/math]

Beweis: Die Funktion

[math]T(n,\mu) = \frac{1}{\mu}\sum_{\nu=1}^\mu\cos 2\pi \frac{\nu n}{\mu},\quad n=1,2,\dots, \quad \mu=1,2,\dots[/math]

wird 1, wenn [math]\mu[/math] ein Teiler von [math]n[/math] ist, ansonsten bleibt sie Null. Zunächst gilt

[math]T(n,\mu) = \frac{1}{\mu}\lim_{x \to n} \sum_{\nu=1}^\mu\cos 2\pi \frac{\nu x}{\mu} = \lim_{x \to n} \frac{1}{2\mu}\left(\sin 2\pi x \cot\frac{\pi x}{\mu} - 1 +\cos 2\pi x\right) = \lim_{x \to n} \frac{\sin 2\pi x \cos\frac{\pi x}{\mu}}{2\mu\sin\frac{\pi x}{\mu}}[/math]

Der Zähler im letzten Ausdruck wird stets Null, wenn [math]x\to n[/math] geht. Der Nenner kann nur dann Null werden, wenn [math]\mu[/math] ein Teiler von [math]n[/math] ist. Dann ist aber

[math] \lim_{x \to n} \frac{\sin 2\pi x \cos\frac{\pi x}{\mu}}{2\sin\frac{\pi x}{\mu}} = \cos\frac{\pi n}{\mu} \lim_{x \to n} \frac{\sin 2\pi x }{2\sin\frac{\pi x}{\mu}} \;=\; \cos\frac{\pi n}{\mu} \lim_{x \to n} \frac{2\pi \cos 2\pi x }{2\frac{\pi}{\mu}\cos\frac{\pi x}{\mu}} \;=\; \mu[/math]

Nur in diesem Fall wird [math]T(n,\mu)=1[/math], wie oben behauptet.

Multipliziert man jetzt [math]T(n,\mu)[/math] mit [math]\mu^k[/math] und summiert das Produkt über alle Werte [math]\mu=1[/math] bis [math]\mu=n[/math], so entsteht nur dann ein Beitrag [math]\mu^k[/math] zur Summe, wenn [math]\mu[/math] ein Teiler von [math]n[/math] ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Divisorfunktion

[math] \sigma_k(n) =\sum_{\mu=1}^n\mu^{k-1}\sum_{\nu=1}^\mu \cos{2\pi\frac{\nu n}{\mu}},\quad k=0,\pm 1,\dots [/math]

deren Spezialfall [math]k=1[/math] die einfache Teilersumme [math]\sigma(n)[/math] ist.

Siehe auch

Literatur


Kategorien: Zahlentheoretische Funktion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Teilersumme (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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