Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens bzw. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.
Schreibweisen
| Tangens Hyperbolicus: |
[math]y = \tanh\,x[/math]
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| Kotangens Hyperbolicus: |
[math]y = \coth\,x[/math]
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Definitionen
- [math]\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}=1-\frac{2}{\mathrm{e}^{2x}+1} [/math]
- [math]\coth x = \frac{\cosh x} {\sinh x} = \frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}} = \frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{2x}-1} =
1+\frac{2}{\mathrm{e}^{2x}-1}[/math]
Hierbei bezeichnen [math]\sinh x[/math] und [math]\cosh x[/math] den Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.
Eigenschaften
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Tangens Hyperbolicus
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Kotangens Hyperbolicus
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| Definitionsbereich
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[math] - \infty \lt x \lt + \infty [/math]
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[math] - \infty \lt x \lt + \infty[/math] ; [math] x \ne 0[/math]
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| Wertebereich
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[math]-1\ltf\left(x\right)\lt1[/math]
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[math]-\infty\ltf\left(x\right)\lt-1 [/math] ; [math]1\ltf\left(x\right)\lt+\infty[/math]
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| Periodizität
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keine
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keine
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| Monotonie
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streng monoton steigend
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[math]x \lt 0[/math] streng monoton fallend
[math]x \gt 0[/math] streng monoton fallend
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| Symmetrien
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Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
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Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
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| Asymptoten
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[math]x\to \ + \infty\colon f\left(x\right)\to \ +1[/math]
[math]x\to \ -\infty\colon f\left(x\right)\to \ -1[/math]
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[math]x\to \ + \infty\colon f\left(x\right)\to \ +1[/math]
[math]x\to \ - \infty\colon f\left(x\right)\to \ -1[/math]
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| Nullstellen
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[math] x = 0 [/math]
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keine
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| Sprungstellen
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keine
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keine
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| Polstellen
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keine
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[math]x = 0[/math]
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| Extrema
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keine
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keine
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| Wendepunkte
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[math] \left(0,0\right) [/math]
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keine
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Spezielle Werte
Der Kotangens Hyperbolicus hat zwei Fixpunkte, d. h. es gibt zwei [math]u \in \mathbb R[/math], sodass
- [math]\coth\,u=u[/math].
Sie liegen bei [math]u_\pm = \pm 1{,}19967864\dots[/math] (Folge A085984 in OEIS )
Umkehrfunktionen
Der Tangens Hyperbolicus ist eine Bijektion [math]\tanh\colon \mathbb{R}\rightarrow (-1,1)[/math]. Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens Hyperbolicus. Sie ist für Zahlen x aus dem Intervall [math](-1,1)[/math] definiert und nimmt als Wert alle reellen Zahlen an.
Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:
- [math]\operatorname{artanh} x = \frac12\ln\frac{1+x}{1-x}.[/math]
Für die Umkehrung des Kotangens Hyperbolicus gilt:
- [math]\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}[/math]
Ableitungen
- [math] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tanh x = 1-\tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}= \operatorname{sech}^2 x [/math]
- [math] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \coth x = 1-\coth^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x}=-\operatorname{csch}^2 x [/math]
Die [math]n[/math]-te Ableitung ist gegeben durch
- [math]\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}z^n}\tanh z=\frac{2^{n+1}\mathrm{e}^{2z}}{(1+\mathrm{e}^{2z})^{n+1}} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k A_{n,k}\,\mathrm{e}^{2kz}[/math]
mit den Euler-Zahlen An,k.
Additionstheorem
Es gilt das Additionstheorem
- [math]\tanh(\alpha+\beta)=\frac{\tanh\alpha+\tanh\beta}{1+\tanh\alpha\,\tanh\beta}[/math]
analog dazu:
- [math]\coth(\alpha+\beta)=\frac{1+\coth\alpha\,\coth\beta}{\coth\alpha+\coth\beta}[/math]
Integrale
- [math] \int\tanh x\,\mathrm{d}x = \ln\,\cosh x+C[/math]
- [math] \int\coth x\,\mathrm{d}x = \ln\,|\sinh x| +C[/math]
Weitere Darstellungen
Reihenentwicklungen
- [math] \tanh x = \sgn x \left[1+ \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k\,2\,\mathrm{e}^{-2k|x|}\right] [/math]
- [math] \coth x = \frac{1}{x}+ \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2x} {k^2\pi^2+x^2} [/math]
Der Anfang der Taylorreihe des Tangens Hyperbolicus lautet:
- [math] \tanh x = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{2n}(2^{2n} -1)}{(2n)!} \cdot B_n \cdot x^{2n - 1} = x- \frac13 x^3 + \frac {2}{15} x^5+\cdots [/math]
Die [math]B_n[/math] sind die Bernoulli-Zahlen. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist [math]\pi/2[/math].
Kettenbruchdarstellung
Gauß zeigte folgende Formel:
- [math]\tanh x=\frac{x}{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{x^2}{5+\ldots}}}[/math]
Differentialgleichung
[math]\tanh[/math] löst folgende Differentialgleichungen:
- [math]f^\prime =1-f^2[/math] oder
- [math]\frac12 f^{\prime\prime}=f^3-f[/math]
mit [math]f(0)=0[/math] und [math]f^\prime (\infty )=0[/math]
Komplexe Argumente
- [math]\tanh(x + i\,y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} + i \, \frac{\sin(2y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} [/math]
- [math]\tanh(i\,y) = i\,\tan y [/math]
- [math]\coth(x +i\,y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} + i \, \frac{-\sin(2y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} [/math]
- [math]\coth(i\,y) = -i\,\cot y [/math]
Anwendungen in der Physik
- Tangens und Kotangens Hyperbolicus können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Fall mit Luftwiderstand oder auch beim Wurf nach unten zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form [math]\dot{v} = -g + k v^2[/math] mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0 mit der Einheit 1/m. Es gibt dann immer eine Grenzgeschwindigkeit [math]v_\mathrm{g} = -\sqrt{\frac{g}{k}} \lt 0 [/math], die für [math]t \to \infty[/math] erreicht wird, und es gilt:
- beim Fall oder Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit kleiner der Grenzgeschwindigkeit: [math]v(t) = v_\mathrm{g} \cdot \tanh\left(\sqrt{gk}t + c\right) [/math] mit [math]c = \operatorname{artanh} \frac{v(0)}{v_\mathrm{g}} \ge 0 [/math]
- beim Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer der Grenzgeschwindigkeit: [math]v(t) = v_\mathrm{g} \cdot \coth\left(\sqrt{gk}t + c\right) [/math] mit [math]c = \operatorname{arcoth} \frac{v(0)}{v_\mathrm{g}} \gt 0 [/math]
- Der Tangens Hyperbolicus beschreibt ferner die thermische Besetzung eines Zwei-Zustands-Systems in der Quantenmechanik: ist n die gesamte Besetzung der beiden Zustände und E ihr Energie-Unterschied, so ergibt sich für die Differenz der Besetzungszahlen [math]\delta n = n \cdot \tanh\frac{E}{2k_\mathrm{B}T}[/math], wobei [math]k_\mathrm{B}[/math] die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist.
- [math]B_J(x) = \frac{1}{J}\left[\left(J+\frac{1}{2}\right)\coth\left(J\,x+\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} \coth\frac{x}{2}\right][/math]
- Der Kotangens Hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: die zeitliche Entwicklung des Hubble-Parameters in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch [math]H(t) = H_g \coth\frac{t}{t_{ch}}[/math], wobei [math]t_{ch} = \frac{2}{3 H_g}[/math] eine charakteristische Zeitskala ist und [math]H_g = \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}} H_0[/math] der Grenzwert des Hubble-Parameters für [math]t \to \infty[/math] ist ([math]H_0[/math] ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, [math]\Omega_{\Lambda,0}[/math] der Dichteparameter für die Dunkle Energie). (Dieses Ergebnis ergibt sich leicht aus dem zeitlichen Verhalten des Skalenparameters, welches aus den Friedmann-Gleichungen abgeleitet werden kann.) Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Dunklen Energie tritt dagegen der Tangens Hyperbolicus auf: [math]\Omega_{\Lambda}(t) = \tanh^2(t/t_{ch}) [/math].
Weblinks