Summenregel - LinkFang.de





Summenregel


Die Summenregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass die Summe aus zwei differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar ist und dass eine solche Summe aus Funktionen gliedweise differenziert werden kann.

Regel

Die Funktionen [math]g[/math] und [math]h[/math] seien in einem gemeinsamen Intervall definiert, das die Stelle [math]x_0[/math] enthält. An dieser Stelle [math]x_0[/math] seien beide Funktionen differenzierbar. Dann ist auch die Funktion [math]f[/math] mit

[math]f(x) = g(x)\, + h(x)[/math]

an der Stelle [math]x_0[/math] differenzierbar, und es gilt

[math]f'(x_0) = g'(x_0) + h'(x_0)\,[/math].

Beispiel

Die Funktionen

[math]\ g(x) = x^4[/math]
[math]\ h(x) = x^3[/math]

sind auf [math]\mathbb{R}[/math] differenzierbar mit den Ableitungsfunktionen

[math]\ g'(x) = 4x^3[/math]
[math]\ h'(x) = 3x^2[/math].

Daher ist auch die Funktion

[math]\ f(x) = g(x) + h(x) = x^4 + x^3[/math]

auf [math]\mathbb{R}[/math] differenzierbar mit der Ableitungsfunktion

[math]\ f'(x) = g'(x) + h'(x) = 4 x^3 + 3 x^2[/math].

Folgerungen

  • Differenzregel: Betrachtet man die Differenz [math]f=g-h=g+(-h)[/math] für Funktionen [math]g[/math] und [math]h[/math], die in [math]x_0[/math] differenzierbar sind, ergibt sich aus der Summenregel und der Faktorregel, dass [math]f[/math] in [math]x_0[/math] differenzierbar ist und für die Ableitung [math]f'(x)=g'(x)-h'(x)[/math] gilt.
  • Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich: Sind [math]g_1, \ldots, g_n[/math] in [math]x_0 \in \mathbb{R}[/math] differenzierbare Funktionen und [math]c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}[/math] reelle Konstanten, dann ist die Linearkombination [math]f(x) := \sum_{i=1}^nc_ig_i(x)[/math] wiederum in [math]x_0[/math] differenzierbar mit (gliedweise differenzierter) Ableitungsfunktion
    [math]f'(x_0) = \left(\sum_{i=1}^nc_ig_i\right)'(x_0) = \sum_{i=1}^nc_i {g_i}'(x_0)[/math].
  • Daraus folgt: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen Vektorraum, und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.

Literatur

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9.

Weblinks


Kategorien: Analysis

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Summenregel (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.