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Strophoide


Die Strophoide (adjektivisches Kunstwort von griechisch στροφή, strofí - die Strophe, Wendung, Kurve, Drehung, Biegung), genauer die gerade Strophoide, ist eine spezielle ebene algebraische Kurve 3. Ordnung.

Gleichungen der geraden Strophoide

Im Folgenden ist [math]a[/math] eine positive reelle Zahl. In der Grafik der Strophoide am rechten Rand wird [math]-a[/math] als [math]S[/math] bezeichnet. In kartesischen Koordinaten ist die Strophoide definiert durch[1]

[math](a + x) x^2 - (a - x) y^2 = 0\,.[/math]

Eine Parameterdarstellung dieser Kurve lautet

[math]x = \frac{a (t^2 - 1)}{1 + t^2}; \qquad y = \frac{a t (t^2 - 1)}{1 + t^2}\,.[/math]

Betrachtet man die Strophoide in Polarkoordinaten so lautet ihre definierende Gleichung

[math]r = - \frac{a \cos(2\varphi)}{\cos\varphi}\,.[/math]

Eigenschaften der geraden Strophoide

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

  • Die Punkte der geraden Strophoide sind gekennzeichnet durch die folgende geometrische Eigenschaft: Es seien S der Scheitelpunkt der Kurve und P ein beliebiger Kurvenpunkt, der von S verschieden ist. Bezeichnet man den von S und P verschiedenen Schnittpunkt der Geraden SP mit der Kurve als Q und den Schnittpunkt mit der y-Achse als R, so ist R von P und Q sowie vom Ursprung O gleich weit entfernt.
  • Die gerade Strophoide ist achsensymmetrisch bezüglich der x-Achse. Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel S mit den Koordinaten [math](-a;0)[/math].
  • Der Ursprung des Koordinatensystems ist ein Doppelpunkt der Kurve, d. h., er wird zweimal durchlaufen. Die beiden Winkelhalbierenden der Quadranten des Koordinatensystems stimmen mit den beiden Tangenten im Ursprung überein.
  • Die Gerade mit der Gleichung [math]x = a[/math] (in der Skizze gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.
  • Die Schleife der geraden Strophoide schließt eine Fläche mit dem Inhalt [math]a^2 \cdot \left( 2 - \tfrac{\pi}{2} \right)[/math] ein.
  • Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat den Flächeninhalt [math]a^2 \cdot \left(2 + \tfrac{\pi}{2} \right) [/math].
  • Die Strophoide ist außerdem unter den Namen Ala, Fokale, harmonische Kurve (nach Werth), Kukumaide und Pteroides torricellana bekannt.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Strophoide. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.

Kategorien: Algebraische Geometrie | Geometrische Kurve

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