Stetige Gleichverteilung - LinkFang.de





Stetige Gleichverteilung


Die stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall [math][a,b][/math] eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Die Möglichkeit, die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall von 0 bis 1 zu simulieren bildet die Basis zur Erzeugung zahlreicher beliebig verteilter Zufallszahlen mittels der Inversionsmethode oder der Verwerfungsmethode.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable [math]X[/math] bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall [math][a,b][/math], wenn Dichtefunktion [math]f(x)[/math] und Verteilungsfunktion [math]F(x)[/math] gegeben sind als

[math]f(x)=\begin{cases} \frac 1{b-a} & a \le x \le b\\ 0 & \text{sonst} \end{cases}[/math]
[math]F(x)= \begin{cases} 0 & x \le a\\ \frac{x-a}{b-a} & a \lt x \lt b\\ 1 & x\ge b \end{cases}[/math]

Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig [math]\mathcal U(a,b)[/math] oder [math]\mathcal{SG}(a,b)[/math] verwendet. In einigen Formeln sieht man auch [math]\text{Gleich}(a,b)[/math] oder [math]\text{uniform}(a,b)[/math] als Bezeichnung für die Verteilung.

Eigenschaften

Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine auf [math][a,b][/math] gleichverteilte Zufallsvariable [math]X[/math] in einem Teilintervall [math][c,d] \subseteq [a,b][/math] liegt, ist gleich dem Verhältnis der Intervalllängen:

[math]P(c \leq X \leq d) = F(d) - F(c) = \frac{d-c}{b-a}[/math].

Erwartungswert und Median

Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung sind gleich der Mitte des Intervalls [math][a,b][/math]:

[math] \operatorname E(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx = \frac 1{b-a}\int\limits_a^b x\cdot 1\,dx = \frac 12\frac{b^2-a^2}{b-a} = \frac{a+b}2[/math]
[math]\operatorname{Median}(X) = F^{-1}(\tfrac{1}{2}) = \frac{a+b}{2}[/math].

Varianz

Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist

[math]\operatorname{Var}(X)[/math] [math] = \operatorname{E}(X^2) - \left({\operatorname{E}(X)} \right)^2 = \frac{1}{b - a}\int\limits_a^b {x^2 \cdot 1\,dx} - \left( {\frac{a + b}{2}} \right)^2 = \frac{1}{3}\frac{b^3 - a^3}{b - a} - \left( {\frac{a + b}{2}} \right)^2[/math]
[math] = \frac{1}{12}\left( {4b^2 + 4ab + 4a^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2 } \right) = \frac{1}{12}(b - a)^2[/math].

Standardabweichung und weitere Streumaße

Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung

[math]\sigma_x = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}} = \frac{b-a}{2\sqrt 3} \approx 0{,}289(b-a)[/math].

Die mittlere absolute Abweichung beträgt [math](b-a)/4[/math], und der Interquartilsabstand [math](b-a)/2[/math] ist genau doppelt so groß. Die Gleichverteilung ist die einzige symmetrische Verteilung mit monotoner Dichte mit dieser Eigenschaft.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

[math]\operatorname{VarK}(X) = \frac 1{\sqrt 3}\frac{b-a}{a+b}[/math].

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

[math]\operatorname v(X) = 0[/math].

Wölbung und Exzess

Die Wölbung [math]\beta_2[/math] und der Exzess [math]\gamma_2 = \beta_2 - 3[/math] lassen sich ebenfalls geschlossen darstellen als

[math]\beta_2 = \tfrac{9}{5} = 1{,}8[/math] bzw.
[math]\gamma_2 = -\tfrac{6}{5} = -1{,}2[/math].

Momente

[math]k[/math]-tes Moment [math]m_k = \frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k a^i b^{k-i}[/math]
[math]k[/math]-tes zentrales Moment [math]\mu_k = \begin{cases}\frac{(b-a)^k}{2^k(k+1)} & \text{ k gerade}\\ 0 & \text{ k ungerade}\end{cases}[/math]

Summe gleichverteilter Zufallsvariablen

Die Summe zweier unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen gleicher Träger-Breite ist dreiecksverteilt, andernfalls ergibt sich eine trapezförmige Verteilung. Genauer:

Zwei Zufallsvariablen seien unabhängig und stetig gleichverteilt, die eine auf dem Intervall [math][a,b][/math], die andere auf dem Intervall [math][c,d][/math]. Sei [math]\alpha=\min\{d-c,b-a\}[/math] und [math]\beta=\max\{d-c,b-a\}[/math]. Dann hat Ihre Summe die folgende Trapezverteilung:

[math]f\colon\R\to\R, x \longmapsto \begin{cases}0 & x \not\in [a+c,b+d] \\\frac{x}{\alpha\beta}-\frac{a+c}{\alpha\beta} & x \in [a+c,a+c+\alpha] \\\frac{1}{\beta} & x \in [a+c+\alpha,a+c+\beta] \\\frac{b+d}{\alpha\beta}-\frac{x}{\alpha\beta} & x \in [a+c+\beta,b+d] \end{cases}[/math]

Die Summe von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen nähert sich der Normalverteilung an (Zentraler Grenzwertsatz).

Eine zuweilen verwendete Methode (Zwölferregel) zur approximativen Erzeugung (standard-)normalverteilter Zufallszahlen funktioniert so: man summiert 12 (unabhängige) auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallszahlen und subtrahiert 6 (das liefert die richtigen Momente, da die Varianz einer U(0,1)-verteilten Zufallsvariablen 1/12 ist und sie den Erwartungswert 1/2 besitzt).

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

[math]\phi_X(t) = \frac{1}{(b-a)it}\left(e^{itb}-e^{ita}\right) = \exp\left(i\frac{b+a}{2}t\right)\frac{\sin\left(\frac{b-a}{2}t\right)}{\frac{b-a}{2}t}[/math],

wobei [math]i[/math] die imaginäre Einheit darstellt.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist

[math]m_X(s) = \begin{cases}\frac{\displaystyle e^{bs}-e^{as}}{\displaystyle (b-a)s} & s\neq 0 \\ 1 & s=0. \end{cases} [/math]

und speziell für [math]a=0[/math] und [math]b=1[/math]

[math]m_X(s) = \frac 1s(e^s-1).[/math]

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Dreiecksverteilung

Die Summe von zwei unabhängigen und stetig gleichverteilten Zufallsvariablen hat eine Dreiecksverteilung.

Beziehung zur Betaverteilung

Sind [math]X_1, X_2, \dotsc, X_n[/math] unabhängige auf [math][0,1][/math] stetig gleichverteilte Zufallsvariable, dann haben die Ordnungsstatistiken [math]X_{(1)}, X_{(2)}, \dotsc, X_{(n)}[/math] eine Betaverteilung. Genauer gilt

[math]X_{(k)} \sim B(k, n-k+1)[/math]

für [math]k = 1,\dotsc,n[/math].

Simulation von Verteilungen aus der stetigen Gleichverteilung

Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn [math]X[/math] eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise [math]Y=-\tfrac 1\lambda \ln(X)[/math] der Exponentialverteilung mit dem Parameter [math]\lambda[/math].

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Die stetige Gleichverteilung lässt sich vom Intervall [math][a,b] [/math] auf beliebige messbare Teilmengen [math] \Omega [/math] des [math] \mathbb{R}^n [/math] mit Lebesgue-Maß [math]0 \lt \lambda^n(\Omega) \lt \infty[/math] verallgemeinern. Man setzt dann

[math] \mathcal{U}_\Omega(A)=\int_A\frac{1}{\lambda^n(\Omega)}\,dx = \frac{\lambda^n(A)}{\lambda^n(\Omega)}[/math]

für messbare [math] A \subseteq \Omega[/math].

Diskreter Fall

Die Gleichverteilung ist auch auf endlichen Mengen definiert, dann heißt sie diskrete Gleichverteilung.

Beispiel für das Intervall [0,1]

Häufig wird [math]a=0[/math] und [math]b=1[/math] angenommen, also [math]X=\mathcal U(0,1)[/math] betrachtet. Dann ist die Dichtefunktion [math]f(x)[/math] auf dem Intervall [0;1] [math]=1[/math] und die Verteilungsfunktion [math]F(x)=x[/math]. Der Erwartungswert beträgt dementsprechend [math]E(X) = 0,5[/math], die Varianz [math]Var(X) = 1/12[/math] und die Standardabweichung [math]\sigma = \sqrt{1/12} \approx 0{,}29[/math], wobei die letztgenannten beiden Werte auch für beliebige weitere Intervalle [a;a+1] gelten:

[math]\operatorname Var(X) = \int\limits_{a}^{a+1} (x-\mu)^2\,dx = \frac 1 3 \cdot( \ (a+1-(a+ \frac 1 2))^3 - (a-(a+ \frac 1 2) )^3 \ ) = \frac 1 {12}[/math].

Siehe hierzu auch den obigen Abschnitt Summe gleichverteilter Zufallsvariablen.

Siehe auch

Weblinks

Literatur


Kategorien: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Stetige Gleichverteilung (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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