Stationärer stochastischer Prozess - LinkFang.de





Stationärer stochastischer Prozess


Ein stationärer stochastischer Prozess ist ein spezieller stochastischer Prozess und damit Untersuchungsobjekt der Wahrscheinlichkeitstheorie. Man unterscheidet in schwach stationäre Prozesse (selten auch kovarianzstationäre Prozesse genannt) und stark stationäre Prozesse, wobei bei letzteren der Zusatz "stark" oftmals weggelassen wird und man lediglich von stationären Prozessen spricht. Beiden Begriffen ist gemein, dass sie Eigenschaften besitzen, die zeitunabhängig sind.

Definition

Ein stochastischer Prozess [math](x_t)_{t\in \mathbb{T}}[/math] heißt stark stationär, wenn die Verteilung von [math](x_{s+t})_{t\in \mathbb{T}}[/math] nicht von der Verschiebung [math]s \in \mathbb{T}[/math] abhängt.

Ein stochastischer Prozess [math](x_t)_{t\in \mathbb{T}}[/math] heißt schwach stationär (selten kovarianzstationär[1]), wenn

  1. der Erwartungswert konstant ist, das heißt für alle [math]t \in \mathbb{T}[/math] gilt [math]E(x_t) = \mu[/math],
  2. die Varianz endlich ist, das heißt für alle [math]t \in \mathbb{T}[/math] gilt [math] \text{Var}(x_t) \lt \infty[/math] und
  3. die Autokovarianz stabil gegenüber Verschiebungen ist, das heißt für alle [math]s ,t_1, t_2 \in \mathbb{T}[/math] gilt [math]\text{Cov}(x_{t_1},x_{t_2})=\text{Cov}(x_{s+t_1},x_{s+t_2})[/math].

Hier bezeichnet [math]E[/math] den Erwartungswert. [math]\mathbb{T}[/math] steht für eine beliebige Indexmenge (auf der eine binäre Operation [math]+[/math] erklärt ist), meist die ganzen Zahlen, manchmal auch die natürlichen Zahlen oder die reellen Zahlen. Häufig wird mit [math]\mathbb{T}[/math] die Zeit modelliert. [math]\text{Var}[/math] bezeichnet die Varianz, [math]\text{Cov}[/math] die Kovarianz.

Interpretation

Stationarität ist eine der bedeutendsten Eigenschaften stochastischer Prozesse in der Zeitreihenanalyse. Mit der Stationarität erhält man Eigenschaften, die nicht nur für einzelne Zeitpunkte gelten, sondern Invarianzen über die Zeit hinweg sind. Die Zeitreihe hat zu allen Zeitpunkten den gleichen Erwartungswert und die gleiche Varianz. (Die wichtigste Klasse von nichtstationären Prozessen sind integrierte Prozesse.)

Mit der ersten Eigenschaft kann man zu einem neuen Prozess [math]x_t-E(x_t)[/math] übergehen, für den dann [math]E(x_t-E(x_t))=0[/math] gilt. Dieser Prozess wird auch zentrierter Prozess genannt. Man kann also ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, ein stationärer stochastischer Prozess habe den Mittelwert 0.

Die zweite Eigenschaft sagt schlichtweg, dass jede der Zufallsvariablen endliche Varianz hat und somit zu dem Hilbertraum [math]L^2[/math] gehört. Hieraus folgt dann auch, dass der Erwartungswert [math]E(x_t)[/math] existiert.

Die dritte Forderung stellt eine Beziehung zwischen den unterschiedlichen Zeitpunkten her und ist damit die bedeutendste Eigenschaft. Sie sagt aus, dass die Kovarianzen zwischen den Zeitpunkten nicht von den beiden Zeitpunkten selbst, sondern nur von dem Abstand [math]r=t_2-t_1[/math] der beiden Zeitpunkte zueinander abhängt. Die Bedingung kann auch so formuliert werden, dass [math]\gamma(r) = Cov(x_{t_1},x_{t_1 + r})[/math] eine Funktion nur einer einzigen Variablen [math]r[/math] ist. Dies hat unter anderem zur Konsequenz, dass [math]\Gamma=E(xx^*)-E(x)E(x^*)[/math] eine unendliche Block-Toeplitz-Matrix ist.

Geometrische Bedeutung

Die geometrische Interpretation des univariaten Falles ([math]n=1[/math]) greift auf den Hilbertraum [math]L^2[/math] zurück, dessen Elemente die einzelnen Zufallsvariablen des Prozesses sind. Die geometrische Interpretation unterstützt das tiefere Verständnis des Begriffs der Stationarität.

Da [math]E(x_t^2)[/math] eine Norm in [math]L^2[/math] ist, kann die Forderung [math]E(x_t^2)=\gamma(0)[/math] so verstanden werden, dass alle Prozessvariablen gleich lang sind, d. h. auf einer Kugel liegen.

[math]E(x_{t+s}x_t)=\gamma(s)[/math] sagt dann, obiger Interpretation folgend, dass für festes [math]s[/math] alle [math]x_t[/math] den gleichen Winkel einschließen. Erhöht man [math]s[/math] um Eins, so wird immer um denselben Winkel weitergedreht.

Forderung (ii) bedeutet nichts anderes als [math]\langle x_t,1 \rangle =m[/math], also der Winkel zwischen der Einheit und jeder Prozessvariablen ist konstant. Hier wird ein Breitengrad aus der Einheitskugel ausgeschnitten.

Stationarisierung

Eine nichtstationäre Zeitreihe stationär zu machen ist eine wichtige erste Aufgabe bei der Zeitreihenanalyse. Weit verbreitete Methoden sind hier die Bildung von Differenzen, das Umskalieren oder das Logarithmieren der Zeitreihe. Allgemeiner kann man versuchen eine stationäre Zeitreihe zu erhalten, indem man ein geeignetes Trend-Saison-Modell verwendet.

Beispiele

Der wichtigste (schwach) stationäre Prozess ist das weiße Rauschen. Des Weiteren sind noch bestimmte Gauss-Prozesse und ARMA-Modelle stationär. Von theoretischer Bedeutung sind auch noch harmonische Prozesse, die unter gewissen Bedingungen stationär sind. Des Weiteren sind Markow-Ketten, die in ihrer stationären Verteilung starten stationäre Prozesse.

Eigenschaften

Stationäre stochastische Prozesse in diskreter Zeit, die als kanonische Prozesse gegeben sind, lassen sich als maßerhaltendes dynamisches System auffassen. Dazu definiert man den Shift-Operator [math] \tau [/math] als

[math] \tau ((\omega_n)_{n \in \N})=(\omega_{n+1})_{n \in \N} [/math].

Dann ist [math] X_n(\omega)=X_0(\tau^n(\omega)) [/math] und der Prozess entsteht durch iterierte Anwendung von [math] \tau [/math]. Somit handelt es sich um ein dynamisches System, das aufgrund der Stationarität maßerhaltend ist. Darauf aufbauend lassen sich auch ergodische stochastische Prozesse definieren, für die wichtige Sätze der Ergodentheorie wie beispielsweise der individuelle Ergodensatz gelten und damit starke Gesetze der großen Zahlen für abhängige Folgen von Zufallsvariablen liefern.

Literatur

  • Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series: Theory and Methods. Springer Verlag, Berlin 2002, ISBN 0387974296
  • G. E. P. Box, G. M. Jenkins: Times Series Analysis: Forecasting and Control. 3. Auflage, ISBN 0130607746

Fußnote

  1. nur 332 Google-Suchergebnisse, v.a. Uniskripte und Statistikbücher, verglichen mit ca. 149.000 teilweise vergleichbar hochwertigen Ergebnissen für schwach stationär. Im Englischen sind beide Begriffe etwa gleich populär, 2.360.000 vs. 2.870.000 Ergebnisse. Abgerufen am 27. Mai 2012, 01:38

Kategorien: Keine Kategorien vorhanden!

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Stationärer stochastischer Prozess (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.