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Starrer Körper


Der starre Körper ist in der klassischen Mechanik ein Modell eines nicht verformbaren Körpers. Der Körper kann eine kontinuierliche Massenverteilung aufweisen oder ein System von diskreten Massenpunkten sein (z. B. Atome, Moleküle in der Quantenmechanik). Die Nichtverformbarkeit ist eine Idealisierung, bei der zwei beliebige Punkte des Körpers unabhängig von äußeren Kräften immer den gleichen Abstand zueinander besitzen, also keinerlei Durchbiegung oder innere Schwingung auftritt.

Die Mechanik starrer Körper befasst sich mit der Bewegung starrer Körper unter dem Einfluss äußerer Kräfte. Durch die Modellvoraussetzungen treten dabei ausschließlich Bewegungen des gesamten Körpers in eine Richtung (Translationsbewegungen) und Rotationsbewegungen auf. Zusätzliche Bewegungsformen, wie Schwingungen einzelner Massenpunkte oder Verformungen des Körpers, werden durch die allgemeinere Mechanik fester Körper behandelt.

Die Modellvorstellung des starren Körpers findet vielfache Anwendung, insbesondere in der Technischen Mechanik in den Teilgebieten der Statik und der Kinematik, sowie als Anwendung in der Robotik, der Auslegung von Fahrwerken und Motoren, siehe Mehrkörpersystem und Mehrkörpersimulation.

Reine Drehung eines starren Körpers

Wird die Drehachse festgelegt, so bleibt der Drehwinkel als einziger Freiheitsgrad der Rotation. Die Rotation wird durch die Winkelgeschwindigkeit [math]\vec{\omega}[/math] beschrieben. Diese Größe lässt sich als Vektor schreiben und mit Ort [math]\vec{x}[/math] und Bahngeschwindigkeit [math]\vec{v}[/math] eines Punktes verknüpfen:

[math] \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{x}[/math]

Diese Gleichung gilt genau dann, wenn als Richtung des Vektors [math]\vec{\omega}[/math] die Rotationsachse gewählt wird. In Richtung des Vektors gesehen findet dabei die Rotation im Uhrzeigersinn statt (wie bei der Korkenzieherregel).

Wenn ein Körper um zwei Achsen rotiert, lassen sich für beide Achsen Vektoren zur Winkelgeschwindigkeit definieren. Ihre Summe ergibt dann die Gesamtrotation des Körpers. Es findet also insgesamt nur eine Rotation um eine Achse statt. Damit ist gewährleistet, dass die Winkelgeschwindigkeit als Vektor additiv ist und es daher sinnvoll ist, diese Größe als Vektor darzustellen.

Allgemeine Bewegungen starrer Körper

Die Bewegung des Körpers lässt sich in eine gleichmäßige Translation aller Partikel des Körpers (und damit auch des Körperschwerpunkts) und eine Rotation zerlegen, siehe Bild. Die Translation werde durch die Bewegung eines Bezugspunkts [math]\vec{s}(t)[/math] beschrieben (blau im Bild), um den sich der Starrkörper dreht.

Im drei-dimensionalen führt die Berechnung der Geschwindigkeit [math]\vec{v}(\vec{x},t)[/math] eines sich zur Zeit t am Ort [math]\vec x[/math] befindlichen Partikels des Starrkörpers auf die eulersche Geschwindigkeitsgleichung:

[math]\vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t)+\vec{\omega}(t)\times[\vec{x}-\vec{s}(t)]\,.[/math]

Die Beschleunigung ergibt sich zu:

[math] \vec{a}(\vec{x},t) = \ddot{\vec{s}}(t) +\dot{\vec{\omega}}(t)\times[\vec{x}-\vec{s}(t)] +\vec{\omega}(t)\times[\vec{\omega}(t)\times[\vec{x}-\vec{s}(t)]] [/math]

Dabei ist [math]\vec \omega[/math] die Winkelgeschwindigkeit, [math]\dot{\vec \omega}[/math] die Winkelbeschleunigung des starren Körpers und [math]\ddot{\vec{s}}[/math] die Beschleunigung des Bezugspunkts. Das Argument [math]\vec x[/math] des Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfeldes ist ein Raumpunkt und darf keineswegs mit dem Partikel verwechselt werden, das sich dort aufhält.

Die Herleitung dieser in eulerscher Fassung vorliegenden Bewegungsgleichungen gelingt in der lagrangeschen Betrachtungsweise wie folgt.

Sei [math]\vec{x}=\vec{\chi}(P,t)[/math] die Bewegungsfunktion, die den Raumpunkt [math]\vec x[/math] angibt, an dem sich ein Partikel P des Starrkörpers zur Zeit t aufhält. Für ein festgehaltenes Partikel P beschreibt [math]\vec{\chi}(P,t)[/math] seine Bahnlinie durch den Raum. Sei S der Bezugspunkt, dessen Bahnlinie mit [math]\vec{s}(t)=\vec{\chi}(S,t)[/math] gegeben ist. Die Verbindungslinie des Partikels P zum Bezugspunkt S führt eine Drehung aus, die mit einer orthogonalen Abbildung [math]\mathbf{Q}[/math] (Drehmatrix im Koordinatenraum [math]\R^n[/math] oder eigentlich Orthogonaler Tensor im euklidischen Vektorraum [math]\mathbb{V}^n[/math]) beschrieben werden kann:

[math]\vec{\chi}(P,t)-\vec{\chi}(S,t) =\mathbf{Q}(t)\cdot[\vec{\chi}(P,t_0)-\vec{\chi}(S,t_0)] =:\mathbf{Q}(t)\cdot\vec{r}_{SP} \,.[/math]

Der Vektor [math]\vec{r}_{SP}[/math] (im Bild kurz mit [math]\vec r[/math] bezeichnet) weist zu einem bestimmten Zeitpunkt [math]t_0[/math] vom Bezugspunkt S zum Partikel P. Der Zeitpunkt [math]t_0[/math] ist willkürlich gewählt aber fest. Entsprechend ist [math]\mathbf{Q}(t_0)=\mathbf{1}[/math] mit der Einheitsmatrix 1 und für jede Drehmatrix gilt ferner [math]\mathbf{Q\cdot Q}^\top=\mathbf{Q^\top\cdot Q}=\mathbf{1}[/math]. Die Bewegungsfunktion des Partikels P lautet damit:

[math]\begin{align} \vec{\chi}(P,t) =& \vec{\chi}(S,t)+[\vec{\chi}(P,t)-\vec{\chi}(S,t)]=\vec{s}(t)+\mathbf{Q}(t)\cdot\vec{r}_{SP} \\ \rightarrow \vec{r}_{SP} =& \mathbf{Q}^\top(t)\cdot[\vec{\chi}(P,t)-\vec{s}(t)] \,.\end{align}[/math]

Die Geschwindigkeit des Parikels ergibt sich durch die Ableitung nach der Zeit, die wie üblich mit einem aufgesetzten Punkt notiert wird:

[math]\begin{align} \dot{\vec{\chi}}(P,t) =& \dot{\vec{s}}(t)+\dot{\mathbf{Q}}(t)\cdot\vec{r}_{SP} = \dot{\vec{s}}(t)+\dot{\mathbf{Q}}(t)\cdot \mathbf{Q}^\top(t)\cdot[\vec{\chi}(P,t)-\vec{s}(t)] \\=& \dot{\vec{s}}(t)+\mathbf{\Omega}(t)\cdot[\vec{\chi}(P,t)-\vec{s}(t)] \end{align}[/math]

Die Winkelgeschwindigkeitsmatrix [math]\mathbf{\Omega}(t):=\dot{\mathbf{Q}}(t)\cdot \mathbf{Q}^\top(t)[/math] ist wegen

[math]\mathbf{\Omega+\Omega}^\top=\dot{\mathbf{Q}}\cdot \mathbf{Q}^\top+\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{Q}\cdot \mathbf{Q}^\top) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{1}=\mathbf{0} [/math]

schiefsymmetrisch und besitzt im drei-dimensionalen Raum einen dualen Vektor [math]\vec{\omega}[/math] für den gilt:

[math]\mathbf{\Omega}\cdot\vec{x}=\vec{\omega}\times\vec{x} \quad\text{für alle}\quad \vec{x}\,.[/math]

Mit diesem dualen Vektor, der hier die Winkelgeschwindigkeit darstellt, ergibt sich das Geschwindigkeitsfeld in lagrangescher Fassung zu:

[math]\dot{\vec{\chi}}(P,t) =\dot{\vec{s}}(t)+\mathbf{\Omega}(t)\cdot[\vec{\chi}(P,t)-\vec{s}(t)] =\dot{\vec{s}}(t)+\vec{\omega}(t)\times[\vec{\chi}(P,t)-\vec{s}(t)]\,.[/math]

Die Geschwindigkeit des Parikels P am Ort [math]\vec{x}=\vec{\chi}(P,t)[/math] ist also [math]\dot{\vec{\chi}}(P,t)[/math], was in eulerscher Betrachtungsweise auf die eulersche Geschwindigkeitsgleichung führt:

[math]\vec{v}(\vec{x},t) =\dot{\vec{s}}(t)+\mathbf{\Omega}(t)\cdot[\vec{x}-\vec{s}(t)] =\dot{\vec{s}}(t)+\vec{\omega}(t)\times[\vec{x}-\vec{s}(t)] \,.[/math]

Die Zeitableitung des Geschwindigkeitsfelds in lagrangescher Fassung ergibt:

[math]\begin{align} \ddot{\vec{\chi}}(P,t) =& \ddot{\vec{s}}(t) +\dot{\mathbf{\Omega}}(t)\cdot[\vec{\chi}(P,t)-\vec{s}(t)] +\mathbf{\Omega}(t)\cdot[\dot{\vec{\chi}}(P,t)-\dot{\vec{s}}(t)] \\ =& \ddot{\vec{s}}(t) +\dot{\mathbf{\Omega}}(t)\cdot[\vec{\chi}(P,t)-\vec{s}(t)] +\mathbf{\Omega}(t)\cdot\mathbf{\Omega}(t)\cdot[\vec{\chi}(P,t)-\vec{s}(t)] \end{align}[/math]

oder in drei Dimensionen mit dem dualen Vektor:

[math] \ddot{\vec{\chi}}(P,t) = \ddot{\vec{s}}(t) +\dot{\vec{\omega}}(t)\times[\vec{\chi}(P,t)-\vec{s}(t)] +\vec{\omega}(t)\times[\vec{\omega}(t)\times[\vec{\chi}(P,t)-\vec{s}(t)]] \,.[/math]

Die Beschleunigung [math]\vec{a}(\vec{x},t)[/math] des Parikels P am Ort [math]\vec{x}=\vec{\chi}(P,t)[/math] ist also [math]\ddot{\vec{\chi}}(P,t)[/math], was in eulerscher Betrachtungsweise wie oben bereits angegeben so geschrieben werden kann:

[math] \vec{a}(\vec{x},t) = \ddot{\vec{s}}(t) +\dot{\vec{\omega}}(t)\times[\vec{x}-\vec{s}(t)] +\vec{\omega}(t)\times[\vec{\omega}(t)\times[\vec{x}-\vec{s}(t)]] [/math]

Hier wird die obige Aussage deutlich: Das Argument [math]\vec x[/math] des Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfeldes ist ein Raumpunkt und nicht das Partikel P, das sich dort aufhält.

Freiheitsgrade und Konfigurationsraum

Die Freiheitsgrade eines n-Teilchen-Systems bilden einen sogenannten Konfigurationsraum. Dieser setzt sich bei starren Körpern aus drei Freiheitsgraden bezüglich der Position und drei weiteren bezüglich der Orientierung zusammen. Neben verschiedenen ortsfesten Koordinatensystemen, die eine Beschreibung der Position erlauben, bieten die Eulerschen Winkel eine Möglichkeit zur Beschreibung der Orientierung, die besonders in der Luft- und Raumfahrt eine wichtige Rolle einnimmt.

Zur Anschauung kann ein freier Körper wie ein (kunstflugtaugliches) Flugzeug herangezogen werden, welches drei Freiheitsgrade einer geradlinigen Bewegung besitzt, da es sich frei in drei Raumdimensionen bewegen kann. Hinzu kommen drei weitere Freiheitsgrade der Drehungen um räumliche (unabhängige) Drehachsen.

Offensichtlich vermindert nun jede Einschränkung der Bewegungmöglichkeit die Anzahl der Freiheitsgrade. Wird beispielsweise ein Massenpunkt des starren Körpers räumlich fixiert, so kann man in diesen den Ursprung des Bezugssystems legen. Damit fallen die drei Freiheitsgrade der Translation weg. Dadurch reduziert sich die Bewegung auf eine reine Änderung der Orientierung und es bleiben nur mehr drei Freiheitsgrade. Wird ein weiterer Punkt festgehalten, so kann der Körper nur noch um eine raumfeste Drehachse rotieren und hat damit nur noch einen Freiheitsgrad, nämlich die Rotation um diese Achse. Legt man schließlich noch einen dritten Punkt des Körpers fest, der sich nicht auf der Achse der ersten zwei Punkte befindet, so verliert er auch den letzten Freiheitsgrad und ist damit bewegungslos. Jede weitere räumliche Fixierung von Punkten führt nunmehr zu einer sogenannten statischen Überbestimmtheit, die in der Statik eine wichtige Rolle spielt.

Ansätze zur Bestimmung der Bewegungsgleichung

Nach der Modellvoraussetzung gelten konstante Distanzen zwischen den Teilchen. Aus dem Schwerpunktsatz lassen sich nun einige Folgerungen ziehen:

  • Für die Wirkung eines Systems äußerer Kräfte auf einen starren Körper sind nur die resultierende Kraft [math]\vec F[/math] und das resultierende Drehmoment [math]\vec M[/math] entscheidend. Alle Kräftesysteme mit gleichen Resultierenden sind somit in ihrer Wirkung äquivalent.
  • Der Trägheitstensor [math]\mathbf{I}[/math] eines starren Körpers ist bezüglich eines körperfesten Schwerpunktsystems konstant.

Häufig werden dem Modell zudem weitere Idealisierungen zugrunde gelegt, die es erlauben sogenannte Erhaltungssätze zur Bestimmung der Bewegungsgleichung einzuführen:

Wird ein abgeschlossenes System angenommen, so folgt aus dem Impulserhaltungssatz, dass der vektorielle Impuls [math]\vec p[/math] des Systems bezüglich seines Schwerpunktes konstant ist:

[math]\vec{p} = m\dot{\vec{s}}(t) = \vec{\mathrm{const.}}[/math]

Aus dem Drehimpulserhaltungssatz folgt, dass der vektorielle Gesamtdrehimpuls [math]\vec L[/math] des Systems bezüglich seines Schwerpunktes konstant ist:

[math]\vec{L} = \mathbf{I}(t)\cdot\vec{\omega}(t) = \vec{\mathrm{const.}}[/math]

In den beiden Formeln bezeichnen

  • [math]m[/math] die Masse des Körpers,
  • [math]\vec s[/math] den Schwerpunkt des Körpers,
  • [math]\mathbf{I}(t)[/math] den Trägheitstensor des starren Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und
  • [math]\vec\omega[/math]([math]t[/math]) die vektorielle Winkelgeschwindigkeit zum Zeitpunkt [math]t[/math]

In nicht abgeschlossenen Systemen entspricht die Änderung des Impulses der von außen angreifenden, resultierenden Kraft und es gilt das zweite Newtonsche Gesetz:

[math]\dot{\vec p}=m\ddot{\vec{s}} = \vec{F}.[/math]

Weiter ist die Änderung des Drehimpulses gleich dem von außen angreifenden, resultierenden Moment und bezüglich des Schwerpunkts des Körpers gilt die Eulersche Gleichung:

[math]\dot{\vec L} =\vec{\omega}\times\mathbf{I} \cdot \vec{\omega}+ \mathbf{I} \cdot \dot{\vec{\omega}} = \vec M.[/math]

Wird ein konservatives Kraftfeld zugrunde gelegt, so folgt aus dem Energieerhaltungssatz, dass die mechanische Gesamtenergie [math]E[/math] konstant ist:

[math]E = E_{\mathrm{trans}}(t) + E_{\mathrm{rot}}(t) + E_{\mathrm{pot}}(t) = \mathrm{const.}[/math]

Dabei bezeichnen:

Eine Formänderungsenergie, die bei nicht starren, elastischen Körpern noch zu addieren wäre, entfällt hier per definitionem.

Eindeutigkeit der Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig davon, welcher Punkt als Bezugspunkt der Starrkörperbewegung gewählt wird. Wenn also zwei verschiedene Formulierungen

[math]\begin{align} \vec{v}_1(\vec{x},t)=&\dot{\vec{s}}_1+\vec{\omega}_1\times(\vec{x}-\vec{s}_1) \\ \vec{v}_2(\vec{x},t)=&\dot{\vec{s}}_2+\vec{\omega}_2\times(\vec{x}-\vec{s}_2) \end{align}[/math]

für dieselbe Bewegung vorliegen, dann ist [math]\vec{\omega}_1=\vec{\omega}_2[/math] – zumindest in nicht eindimensionalen Körpern. Denn die Geschwindigkeit des ersten Bezugspunkts kann mit dem zweiten Geschwindigkeitsfeld ausgedrückt werden:

[math]\dot{\vec{s}}_1 = \vec{v}_2(\vec{s}_1,t) = \dot{\vec{s}}_2+\vec{\omega}_2\times(\vec{s}_1-\vec{s}_2) [/math]

Vergleich der Geschwindigkeitsfelder zeigt:

[math]\begin{align} \vec{v}_1(\vec{x},t) =& \dot{\vec{s}}_2+\vec{\omega}_2\times(\vec{s}_1-\vec{s}_2)+\vec{\omega}_1\times(\vec{x}-\vec{s}_1) =\dot{\vec{s}}_2+\vec{\omega}_2\times(\vec{x}-\vec{s}_2) =\vec{v}_2(\vec{x},t) \\ \Rightarrow\vec 0=&(\vec{\omega}_1-\vec{\omega}_2)\times(\vec{x}-\vec{s}_1) \end{align}[/math]

Bei verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten [math]\vec{\omega}_{1,2}[/math] muss also [math](\vec{x}-\vec{s}_1)\parallel(\vec{\omega}_1-\vec{\omega}_2)[/math] für alle Punkte [math]\vec{x}[/math] im Körper sein, was nur in ein-dimensionalen Körpern der Fall sein kann. Bei flächigen oder voluminösen Körpern müssen die Winkelgeschwindigkeiten übereinstimmen: [math]\vec{\omega}_1=\vec{\omega}_2[/math].

Bornsche Starrheit

Hauptartikel: Bornsche Starrheit

Das Konzept des starren Körpers ist inkonsistent mit den Vorhersagen der Relativitätstheorie, da nach ihm stets der gesamte Körper auf Kräfte und Drehmomente gleichzeitig reagiert, was impliziert, dass ihre Wirkungen sich innerhalb des Körpers mit unendlicher Geschwindigkeit ausbreiten, insbesondere also schneller als mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c. Bei realen Körpern breiten sich Wirkungen hingegen üblicherweise mit der für den Körper spezifischen Schallgeschwindigkeit aus, die weit unterhalb von c liegt.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise


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