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Stack (Kategorientheorie)


In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht.

Für einen topologischen Raum [math]X[/math] sei [math]\mathfrak{Cov}(X)[/math] die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen [math]j \colon U \to X[/math] sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen [math]i\colon U_1 \to U_2[/math] sind, so dass [math]j_1 = j_2 \circ i[/math] gilt.

  • Eine Prägarbe über [math]X[/math] in einer Kategorie [math]\mathfrak{C}[/math] ist ein kontravarianter Funktor [math]\mathcal{F} \colon \mathfrak{Cov}(X) \to \mathfrak{C}[/math]. Für jeden Morphismus [math]i \colon U \to V[/math] und ein Pullback
[math]U^2[/math] [math]\to[/math] [math]U[/math]
[math]\downarrow[/math] [math]\downarrow[/math]
[math]U[/math] [math]\to[/math] [math]V[/math]

bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm

[math]\mathcal{F}(V)[/math] [math]\to[/math] [math]\mathcal{F}(U)[/math]
[math]\downarrow[/math] [math]\downarrow[/math]
[math]\mathcal{F}(U)[/math] [math]\to[/math] [math]\mathcal{F}(U^2)[/math]

(mit umgedrehten Pfeilen). Gemäß der universellen Eigenschaft eines Pullbacks

[math]D[/math] [math]\to[/math] [math]\mathcal{F}(U)[/math]
[math]\downarrow[/math] [math]\downarrow[/math]
[math]\mathcal{F}(U)[/math] [math]\to[/math] [math]\mathcal{F}(U^2)[/math]

gibt es einen eindeutigen Morphismus [math]\mathrm{Des}(i,\mathcal{F}): \mathcal{F}(V) \to D[/math] in der Kategorie [math]\mathfrak{C}[/math].

  • Das Abstiegsaxiom für die Prägarbe [math]\mathcal{F}[/math] lautet: Für jedes [math]i:U \to V[/math] ist der Morphismus [math]\mathrm{Des}(i,\mathcal{F})[/math] ein Isomorphismus.

Man kann sich nun überlegen, dass diese Definitionen mit den eher gebräuchlichen aus dem Artikel über Garben übereinstimmt. Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in natürlicher Art und Weise: Kategorien werden 2-Kategorien, Funktoren werden 2-Funktoren, Objekte werden Kategorien, Morphismen werden Funktoren, und Gleichungen von Morphismen werden natürliche Äquivalenzen. Dabei wird die Kategorie [math]\mathfrak{Cov}(X)[/math] zu einer 2-Kategorie, indem man nur Identitäten als 2-Morphismen zulässt.

Damit ergeben sich die folgenden Definitionen:

  • Eine gefaserte Kategorie über [math]X[/math] in einer 2-Kategorie [math]\mathfrak{C}[/math] ist ein kontravarianter 2-Funktor [math]\mathcal{F}: \mathfrak{Cov}(X) \to \mathfrak{C}[/math].
  • Das Abstiegsaxiom für eine gefaserte Kategorie [math]\mathcal{F}[/math] lautet: Für jeden 1-Morphismus [math]i:U \to V[/math] ist der Funktor [math]\mathrm{Des}(i,\mathcal{F})[/math] eine Äquivalenz von Kategorien.
  • Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie, die das Abstiegsaxiom erfüllt.

Bemerkung: Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie „Prä-Stack“ heißen, aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere, nicht-äquivalente Definition belegt.

Literatur


Kategorien: Kategorientheorie | Algebraische Topologie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Stack (Kategorientheorie) (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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