Spezielle lineare Gruppe - LinkFang.de





Spezielle lineare Gruppe


Lineare Gruppen dienen in der Mathematik der Beschreibung von Symmetrien. Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper [math]K[/math] (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring), [math]SL(n, K)[/math], ist die Gruppe aller [math]n\times n[/math] Matrizen mit Koeffizienten aus [math]K[/math], deren Determinante 1 beträgt; diese werden auch unimodulare Matrizen genannt.[1] Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation

Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge [math]\mathbb{R}[/math] der reellen oder [math]\mathbb{C}[/math] der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch [math]SL(n)[/math].

Eigenschaften

Die spezielle lineare Gruppe [math]SL(n, K)[/math] ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe [math]GL(n, K)[/math].

Die Faktorgruppe [math]GL(n, K)/SL(n, K)[/math] ist isomorph zu [math]K^*[/math], der Einheitengruppe von [math]K[/math] (für einen Körper [math]K[/math] ist [math]K^*[/math] gleich [math]K \setminus\{0\}[/math]). Der Beweis erfolgt über den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus.

Wichtige Untergruppen der [math]SL(n, K)[/math] sind für [math]K = \R[/math] die spezielle orthogonale Gruppe [math]SO(n)[/math] und für [math]K = \C[/math] die spezielle unitäre Gruppe [math]SU(n)[/math].

Die spezielle lineare Gruppe [math]SL(n, K)[/math] über dem Körper [math]K = \mathbb{R}[/math] oder [math]K = \mathbb{C}[/math] ist eine Lie-Gruppe über [math]K[/math] der Dimension [math]n^2-1[/math].

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.

Die spezielle lineare Gruppe [math]SL(n, K)[/math] beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Eric W. Weisstein: Determinant . In: MathWorld (englisch).

Kategorien: Gruppentheorie | Lie-Gruppe

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