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Sobel-Operator


Der Sobel-Operator ist ein einfacher Kantendetektions-Filter, der in der Bildverarbeitung häufig Anwendung findet und dort mithilfe der Faltung als Algorithmus eingesetzt wird (Sobel-Algorithmus). Dieser berechnet die erste Ableitung der Bildpunkt-Helligkeitswerte, wobei gleichzeitig orthogonal zur Ableitungsrichtung geglättet wird.

Der Algorithmus nutzt eine Faltung mittels einer 3×3-Matrix (Faltungsmatrix), die aus dem Originalbild ein Gradienten-Bild erzeugt. Mit diesem werden hohe Frequenzen im Bild mit Grauwerten dargestellt. Die Bereiche der größten Intensität sind dort, wo sich die Helligkeit des Originalbildes am stärksten ändert und somit die größten Kanten darstellt. Daher wird zumeist nach der Faltung mit dem Sobeloperator eine Schwellwert-Funktion angewandt. Der Algorithmus kann allerdings auch auf andere zweidimensionale Signale angewandt werden.

Aus dem Originalbild [math]A[/math] wird für jeden Bildpunkt immer nur ein Ausschnitt, genauer gesagt die Umgebung des zu betrachtenden Punktes, verwendet. Nun werden mittels der Sobeloperatoren [math]\mathbf{S}_x[/math] und [math]\mathbf{S}_y[/math] die gefalteten Resultate [math]\mathbf{G}_x[/math] und [math]\mathbf{G}_y[/math] berechnet:

[math] \mathbf{G}_x=\mathbf{S}_x * A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} * A [/math]

und

[math]\mathbf{G}_y=\mathbf{S}_y * A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix} * A [/math]

Durch Ausnutzung der Separierbarkeit kann die Rechenzeit deutlich reduziert werden.

Anschließend werden alle Komponenten der Matrix aufsummiert, um ihren Grauwert zu erhalten. Eine richtungsunabhängige Information kann man durch die Kombination beider Ergebnisse erhalten: [math]\mathbf{G} = \sqrt{ \mathbf{G}_x^2 + \mathbf{G}_y^2 }.[/math]

Die Richtung eines Gradienten erhält man über die Formel

[math]\mathbf{\Theta} = \operatorname{atan2}\left(\mathbf{G}_y, \mathbf{G}_x\right)[/math],

wobei atan2 der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten ist.

Hierbei beschreibt der Wert [math]\Theta = 0[/math] eine vertikale Kante mit negativem Gradient in x-Richtung. Zunehmende Winkel beschreiben eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

Beispielbilder

Scharr-Operator

Der Sobel-Operator hat keine perfekte Rotationssymmetrie. Besser berücksichtigt wird dies mit dem Scharr-Operator [1]:

[math] \mathbf{G}_x= \begin{bmatrix} 3 & 0 & -3 \\ 10 & 0 & -10 \\ 3 & 0 & -3 \end{bmatrix} * A [/math]

und

[math]\mathbf{G}_y= \begin{bmatrix} 3 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3 & -10 & -3 \end{bmatrix} * A [/math]

Siehe auch

Referenzen

  1. Scharr, Hanno. Optimale Operatoren in der Digitalen Bildverarbeitung. Dissertation: Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg, 2000 .

Kategorien: Kantendetektion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Sobel-Operator (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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