Sl(2,C) - LinkFang.de





Sl(2,C)


Dieser Artikel behandelt die Lie-Algebra [math]\mathfrak{sl}(2,C)[/math], zur Gruppe [math]SL(2,C)[/math] siehe Spezielle lineare Gruppe.

In der Mathematik ist die Lie-Algebra [math]\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die [math]\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.

Die [math]\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe [math]SL(2,\C)[/math]. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper [math]\C[/math] definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra [math]\mathfrak{su}(2)[/math] und die Lie-Algebra [math]\mathfrak{sl}(2,\R)[/math].

Die Gruppe [math]SL(2,\C)[/math] spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen [math]SO_{0}(3,1)[/math] ist.

Kommutator-Relationen

Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum [math]g=\langle \{x,y,h\} \rangle_{\C}[/math]. Die [math]\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:

[math] [x,y]=h, \quad [h,x]=2x, \quad [h,y]=-2y [/math]

Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:

[math] x= \begin{pmatrix}0&1\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad y=\begin{pmatrix}0&0\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad h=\begin{pmatrix}1&0\\ 0 & -1\end{pmatrix} [/math]

Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt

Durch die Definition des Kreuzproduktes in [math]\C^3[/math] und der folgenden Vektoren

[math] x=(1,\mathrm i,0), \quad y=(-1,\mathrm i,0), \quad h=(0,0,2\mathrm i) [/math]

ergibt sich die gleiche Algebra:

[math] x\times y = h, \quad h \times x = 2x, \quad h \times y = -2y [/math]

Eigenschaften

[math]\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei [math]\mathfrak{a}[/math] ein nichttriviales Ideal in [math]\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] und sei [math]ax + bh + cy\in\mathfrak{a}\setminus 0[/math] mit [math]a,b,c\in \C[/math]. Wenn [math]a = c = 0[/math], dann [math]h\in \mathfrak{a}[/math], damit [math]2x = \left[h,x\right]\in\mathfrak{a}[/math] und [math] 2y = \left[h,y\right]\in\mathfrak{a}[/math], also [math]\mathfrak{a}=\mathfrak{sl}(2,\C)[/math]. Also können wir [math]a\not=0[/math] oder [math]c\not=0[/math] annehmen, o. B. d. A [math]a\not=0[/math]. Aus [math]\left[y, \left[y, ax + bh + cy \right]\right] = \left[y, -ah + 2by \right] = -2ay [/math] folgt dann [math]y \in\mathfrak{a}[/math] und damit auch [math]h=\left[x,y\right]\in\mathfrak{a}[/math], also wieder [math]\mathfrak{a}=\mathfrak{sl}(2,\C)[/math].

Struktur der Lie-Algebra sl(2,C)

Killing-Form

Die Killing-Form von [math]\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] lässt sich explizit durch die Formel

[math]B(v,w)=4\,\operatorname{Spur}(vw)[/math]

berechnen, es ist also

[math]B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8[/math]
[math]B(x,y)=4,\ B(x,h)=-4,\ B(y,h)=4.[/math]

Cartan-Involution

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe [math]SL(2,\C)[/math] ist [math]K=SU(2)[/math], ihre Lie-Algebra [math]\mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2)[/math] wird von [math]i(x+y),\ x-y[/math] und [math]ih[/math] aufgespannt.

Eine Cartan-Involution von [math]\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] ist gegeben durch

[math]\theta(A)=-A^H[/math].

[math]\mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2)[/math] ist ihr Eigenraum zum Eigenwert [math]1[/math]. Man erhält die Cartan-Zerlegung

[math]\mathfrak{sl}(2,\C)=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}[/math],

wobei [math]\mathfrak{p}=\left\{A\in\mathfrak{sl}(2,\C):A=A^H\right\}[/math] der Eigenraum zum Eigenwert [math]-1[/math] ist.

Iwasawa-Zerlegung

Eine Iwasawa-Zerlegung von [math]\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] ist

[math]\mathfrak{sl}(2,\C)=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}[/math]

mit [math]\mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2),\ \mathfrak{a}=\left\{\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}:\lambda\in\R\right\},\ \mathfrak{n}=\left\{\begin{pmatrix}0&n\\ 0&0\end{pmatrix}:n\in\C\right\}[/math].

Reelle Formen

Die [math]\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist [math]\mathfrak{su}(2)[/math], ihre spaltbare reelle Form ist [math]\mathfrak{sl}(2,\R)[/math].

Cartan-Unteralgebren

Eine maximale abelsche Unteralgebra ist

[math]\mathfrak{h}_0=\left\{\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}:\lambda\in\C\right\}[/math].

[math]\mathfrak{h}_0[/math] ist eine Cartan-Unteralgebra.

Jede Cartan-Unteralgebra [math]\mathfrak{h}\subset\mathfrak{sl}(2,\C)[/math] ist zu [math]\mathfrak{h}_0[/math] konjugiert, d. h. sie ist von der Form

[math]\mathfrak{h}=g\mathfrak{h}_0g^{-1}:=\left\{ghg^{-1}:h\in\mathfrak{h}_0\right\}[/math]

für ein [math]g\in SL(2,\C)[/math].

Wurzelsystem

Das Wurzelsystem zu [math]\mathfrak{h}_0[/math] ist

[math]R=\left\{\alpha_{12}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix},\ \alpha_{21}=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\right\}[/math].

Die dualen Wurzeln sind

[math]\alpha_{12}^*\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}=2\lambda,\ \alpha_{12}^*\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}=-2\lambda[/math].

Die zugehörigen Wurzelräume sind

[math]\mathfrak{g}_{\alpha_{12}}=\C\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix},\ \mathfrak{g}_{\alpha_{21}}=\C\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}[/math].

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe [math]S_2[/math].

Siehe auch

Weblinks

  • Nicolas Perrin: The Lie Algebra [math]\mathfrak{sl}_2[/math] pdf
  • Abhinav Shrestha: Representations of semisimple Lie algebras pdf

Kategorien: Theorie der Lie-Gruppen | Lie-Algebra

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Sl(2,C) (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.