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Skalengesetz


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Unter Skalengesetzen oder Skalierungsgesetzen versteht man die Manifestationen von mathematischen Beziehungen der Art

[math]f(x)= b c^{x}[/math],

d. h. exponentielle Beziehungen, oder

[math]f(x) = b x ^ c[/math],

d. h. Potenz- oder polynomiale Beziehungen, wobei [math]b[/math] und [math]c[/math] reelle Konstanten darstellen. Potenzgesetze sind häufiger anzutreffen als exponentielle Beziehungen.

Derartige Beziehungen sind in der Natur und Gesellschaft so verbreitet, dass man von einem strukturbildenden Prinzip sprechen kann. Teilweise handelt es sich um rein empirisch gefundene Verteilungen, teilweise konnten diese aber auf eine solide theoretische Basis gestellt werden, so dass im naturwissenschaftlichen Sinne von »Gesetzen« gesprochen werden kann. Das begründet sich unter anderem darin, dass

[math]x(t)= c e^{t}[/math]

die Lösung der simpelsten linearen Differentialgleichung

[math]\dot x=x[/math]

ist, die einen sich selbst beschleunigenden Prozess beschreibt, z. B. das Wachstum einer Population ohne Ressourcenbeschränkung.

Skalenbeziehung, die auf Potenzgesetzen beruhen, sind skaleninvariant aufgrund der Beziehung

[math]f(ax) = b (ax)^c = a^c b x^c = a^c f(x) \propto f(x)[/math]

d.h., dass [math]f(ax)[/math] proportional [math]f(x)[/math] ist und sich die Charakteristika von [math]f[/math] nicht verändern. Exponentielle Beziehungen zeigen diese Skaleninvarianz nicht.

Beispiele

Statistik

Benfords Gesetz 
besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Ziffern der ersten Stelle von Häufigkeitszahlen, die aus natürlichen Verteilungen gewonnen wurden, der Beziehung fD = log(1+1/D) genügt. D. h., in gut 30 % aller Zahlen findet sich die 1 an der ersten Stelle, in 17 % die 2 usw.

Biologie

Geoffrey West [1][2] führt die Universalität von Skalengesetzen in der Biologie auf folgende Punkte zurück:

  1. Organismen aller Größenordnungen werden von hierarchisch verzweigten Stoffwechsel-Versorgungsnetzen am Leben erhalten.
  2. Diese Netzwerke sind raumfüllend (und oft fraktal).
  3. Die Endpunkte dieser Netzwerke sind invariant.
  4. Die Evolution hat die Energiedissipation der Organismen minimiert und/oder die Oberflächen maximiert, über die der Ressourcenaustausch stattfindet.

Aus diesen Prinzipien scheinen sich wenigstens die Allometrien mit sehr einfachen Skalengesetzen (die Exponenten tendieren dazu, ganzzahlige Vielfache von 1/4 zu sein) ableiten zu lassen.

Beispiele sind die Beziehungen zwischen

Chemie

Häufigkeit der chemischen Elemente in der Erdkruste (Goldschmidt-Diagramm)

Physik

Stefan-Boltzmann-Gesetz : ...
1/f-Rauschen: Bei dem 1/f-Rauschen folgt die Amplitudenverteilung des Rausch-Signals einem Skalengesetz, genauer gesagt einem Potenzgesetz: [math] A(f) = f^{-\alpha}[/math], wobei [math]A(f)[/math] die Amplitude zu einer Frequenz [math]f[/math] bezeichnet, und [math] \alpha \approx 1[/math]; daher auch die Bezeichnung 1/f-Rauschen (wegen [math] f^{-1}=1/f[/math]).
Statistische Physik: - Kritisches Verhalten bei Phasenübergängen zweiter Art. Dieses Verhalten, z. B. M~|T-T_c|[math]^\beta[/math], mit der Magnetisierung M, der kritischen Temperatur T_c und dem kritischen Exponenten [math]\beta,[/math] ist beschrieben unter Skaleninvarianz.
Hochenergiephysik: - Hier beobachtet man in der Tat ebenfalls sog. kritische Exponenten, die man in der Sprache der Hochenergiephysik als anomale Dimensionen bezeichnet.
Thomsonsche' Geschwindigkeitsskalierung: Für hohe Energien hängt der Wirkungsquerschnitt für die Elektronenstoßionisation in isoelektronischen Reihen nur noch von [math]\left( \frac{E}{m}\right)_\text{Projektil}[/math] ab.

Linguistik

Hauptartikel: Zipfsches Gesetz

Internet

Das Internet ist ein riesiges Netzwerk mit emergenten Phänomenen wie selbstähnlicher Skalierung in den Burst-Mustern seines Datenverkehrs und skalenfreier Struktur in der Verbindungstopologie.[3]

Weblogs

Auch andere selbstlinkende Internet-Plattformen wie Weblogs zeigen einen bestimmten Zusammenhang: neue Weblogs linken bevorzugt - d. h. mit höherer Wahrscheinlichkeit - auf schon beliebte Weblogs und machen diese noch beliebter.[4] Dieser Verlinkungs-Algorithmus ist übrigens auch die Regel für die Erstellung eines skalenfreien Netzes.

Wirtschaftswissenschaften

Hauptartikel: Pareto-Verteilung : ...

Einzelnachweise

  1. Geoffrey West: Scaling Laws in Biology: Growth, Mortality, Cancer and Sleep , abgerufen am 16. Dezember 2014.
  2. G. B. West, James H. Brown, Brian J. Enquist. A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology. in: Science. Washington 276.1997, 5309, S.122-126. ISSN 0036-8075
  3. W. Willinger, R. Govindan, S. Jamin, V. Paxson, S. Shenker: Scaling phenomena in the Internet. Critically examining criticality. in: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (PNAS). Suppl 1. Washington 99.2002, (19. Febr.), 2573-2580. ISSN 0027-8424
  4. shirky.com: Power Laws, Weblogs, and Inequality

Siehe auch

Weblinks


Kategorien: Statistische Physik

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