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Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus


Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole [math]\sinh[/math] bzw. [math]\cosh[/math], in älteren Quellen auch [math]\mathfrak{Sin}[/math] und [math]\mathfrak{Cos}[/math][1]. Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Definitionen

  • Sinus Hyperbolicus
[math]\sinh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right) = -i\,\sin(i\,x)[/math]
  • Kosinus Hyperbolicus
[math]\cosh x = \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right) = \cos(i\,x)[/math]

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Funktion ex.

Eigenschaften

  Sinus Hyperbolicus Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich [math] - \infty \lt x \lt + \infty [/math] [math] - \infty \lt x \lt + \infty [/math]
Wertebereich [math] - \infty \lt f(x) \lt + \infty [/math] [math] 1 \le f(x) \lt + \infty [/math]
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend [math]-\infty \lt x \leq 0[/math] streng monoton fallend
[math]0 \leq x \lt \infty[/math] streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische
Funktionen
[math] a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x},\quad x\to\infty[/math] [math] a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x},\quad x\to\infty[/math]
[math] a_2(x) = -\frac{1}{2}e^{\ -x},\quad x\to -\infty[/math] [math] a_2(x) = \frac{1}{2}e^{\ -x},\quad x\to -\infty[/math]
Nullstellen [math] x = 0[/math] keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei [math]x = 0[/math]
Wendestellen [math] x = 0 [/math] keine

Spezielle Werte

[math]\sinh(\ln\Phi) = \tfrac12[/math] mit dem goldenen Schnitt [math]\Phi[/math]

Uneigentliches Integral

Für den Kosinus Hyperbolicus gilt insbesondere:

[math] \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm dx}{\cosh x} = \pi. [/math]

Umkehrfunktionen

Der Sinus Hyperbolicus bildet [math]\mathbb{R}[/math] bijektiv auf [math]\mathbb{R}[/math] ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus Hyperbolicus nennt.

Der Kosinus Hyperbolicus bildet das Intervall [math][0,+\infty[[/math] bijektiv auf das Intervall [math][1,+\infty[[/math] und lässt sich eingeschränkt auf [math][0,+\infty[[/math] also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus Hyperbolicus

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

[math]\operatorname{arsinh} x = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\ [/math].
[math]\operatorname{arcosh} x = \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\ [/math].

Ableitungen

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:

[math] \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh x & = \cosh x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cosh x & = \sinh x \end{align} [/math]

Stammfunktionen

[math] \begin{align} \int \sinh x \, dx &= \cosh x + C\\ \int \cosh x \, dx &= \sinh x + C \end{align} [/math]

Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)

[math]\cosh^2 x \!\; - \sinh^2 x = 1[/math]
[math]\cosh x \,\; + \sinh x \,\,= e^{x}[/math] (Eulersche Identität)
[math]\cosh({\rm arsinh}(x)) = \sqrt{x^2 + 1} [/math]
[math]\sinh({\rm arcosh}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} [/math] (Hyperbelgleichung)

Additionstheoreme

[math] \begin{align} \sinh(x\pm y) &= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\\ \cosh(x\pm y) &= \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y \end{align} [/math]

insbesondere gilt für [math]y := x[/math]:

[math] \begin{align} \sinh 2x &= 2\cdot\sinh x \cosh x\ \\ \cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cdot \cosh^2 x - 1 = 2\cdot \sinh^2 x + 1 \end{align} [/math]

und für [math]y := 2x[/math]:

[math] \begin{align} \sinh 3x &= 4\cdot \sinh^3 x +3 \sinh x\ \\ \cosh 3x &= 4\cdot \cosh^3 x -3 \cosh x \end{align} [/math]

Summenformeln

[math] \begin{align} \sinh x \pm \sinh y & = 2 \sinh \frac{x\pm y}2 \cosh\frac{x\mp y}2 \\ \cosh x + \cosh y & = 2 \cosh \frac{x + y}2 \cosh\frac{x-y}2 \\ \cosh x - \cosh y & = 2 \sinh \frac{x + y}2 \sinh\frac{x-y}2 \end{align} [/math]

Reihenentwicklungen

Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt [math]x=0[/math] lautet:

[math] \begin{align} \sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x+ \frac{x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} + \dotsb\\ \cosh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}} {(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dotsb \end{align} [/math]

Produktentwicklungen

[math] \begin{align} &\sinh x = x\cdot \prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{(k\pi)^2}\right) \qquad\qquad\quad\\ &\sinh \pi x = \pi x\cdot\prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{k^2}\right)\\ &\cosh x = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{4 x^2} {(2k - 1)^2 \pi^2} \right) \end{align} [/math]

Komplexe Argumente

Mit [math]x,y \in \mathbb{R}[/math] gilt:

[math] \begin{align} \sinh(x+iy) &= \cos y \cdot \sinh x + i \cdot \sin y \cdot \cosh x\\ \cosh(x+iy) &= \cos y \cdot \cosh x + i \cdot \sin y \cdot \sinh x\\ \sin(x+iy) &= \sin x \cdot \cosh y + i \cdot \cos x \cdot \sinh y\\ \cos(x+iy) &= \cos x \cdot \cosh y - i \cdot \sin x \cdot \sinh y\\ \end{align} [/math]

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:

Mit [math]z = x+i y[/math] gilt

[math] \begin{align} \exp(iz) &= \cos(x+iy) + i \cdot \sin(x+iy)\\ &= \exp(i \cdot (x+i \cdot y))\\ &= \exp(i \cdot x) \cdot \exp(i \cdot (i \cdot y))\\ &=(\cos(x) \cos(iy)- \sin(x) \sin(iy))+i \cdot ( \cos(x) \sin(iy) + \sin(x) \cos(iy) )\\ &=(\cos(x) \cosh(y)- i \cdot \sin(x) \sinh(y))+i \cdot ( \sin(x) \cosh(y) + i \cdot \cos(x) \sinh(y) )\\ \end{align} [/math]

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

[math] \begin{align} \cos(x+iy) &= \cos(x) \cosh(y)- i \cdot \sin(x) \sinh(y) \\ \sin(x+iy) &= \sin(x) \cosh(y) + i \cdot \cos(x) \sinh(y) \\ \end{align} [/math]

Anwendungen

Lösung einer Differentialgleichung

Die Funktion

[math]f(x)=a \cdot \sinh(x)+b \cdot \cosh(x)[/math] mit [math] a,b \in \mathbb{R}[/math]

löst die Differentialgleichung

[math]f''(x) - f(x) = 0\ [/math].

Kettenlinie

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-Hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Lorentz-Transformation

Mit Hilfe der Rapidität [math]\lambda[/math] kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):

[math] L = \begin{pmatrix} \cosh \lambda & -\sinh \lambda & 0 & 0\\ -\sinh \lambda & \cosh \lambda & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} [/math]

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Kosmologie

Der Sinus Hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch [math]a(t) = \left(\sqrt{\frac{1-\Omega_{\Lambda,0}}{\Omega_{\Lambda,0}}} \sinh(t/t_{ch})\right)^{2/3}[/math], wobei [math]t_{ch} = \frac{2}{3 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}} H_0}[/math] eine charakteristische Zeitskala ist ([math]H_0[/math] ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, [math]\Omega_{\Lambda,0}[/math] der Dichteparameter für die Dunkle Energie; die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen). Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus Hyperbolicus auf: [math]\Omega_M(t) = \cosh^{-2}(t/t_{ch}) [/math].

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.

Kategorien: Trigonometrische Funktion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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