Simsonsche Gerade - LinkFang.de





Simsonsche Gerade


Die simsonsche Gerade ist ein Gegenstand der Dreiecksgeometrie. Liegen die Fußpunkte der von einem Punkt [math] P [/math] aus gefällten Lote auf die (eventuell verlängerten) Seiten eines Dreiecks [math] \triangle ABC [/math] auf einer gemeinsamen Geraden, so wird diese Gerade als simsonsche Gerade oder wallacesche Gerade und der Punkt [math] P [/math] als ihr Pol bezeichnet. Dies ist genau dann der Fall, wenn [math] P [/math] auf dem Umkreis von [math] \triangle ABC [/math] liegt.

Die Simson-Gerade ist irrtümlicherweise nach dem Mathematiker Robert Simson (1687–1768) benannt, in dessen Werk sich jedoch keine Arbeit zur Simson-Geraden finden lässt. In Wirklichkeit wurde sie 1797 von William Wallace (1768–1843) entdeckt.[1]

Weitere Eigenschaften

Parallele zur Simson-Gerade

Jede Simson-Gerade eines Dreieckes besitzt drei besondere Parallelen, die jeweils durch einen der drei Eckpunkte des Dreiecks verlaufen. Genauer gesagt gilt der folgende Satz:

Gegeben sind ein Dreieck [math] \triangle ABC [/math], ein Punkt P auf seinem Umkreis und die zugehörige Simson-Gerade. Ist G nun der Schnittpunkt des Lotes von P auf AB mit dem Umkreis, dann ist die Gerade CG parallel zur Simson-Gerade.[1]

Schnittwinkel zwischen Simson-Geraden

Betrachtet man bei einem Dreieck zwei unterschiedliche Punkte auf dessen Umkreis, so erhält man zwei verschiedene Simson-Geraden. Der Schnittwinkel dieser beiden Simson-Geraden ist genau halb so groß wie der Winkel, den die beiden Punkte mit dem Mittelpunkt des Umkreises bilden.

Es seien [math] P_1 [/math] und [math] P_2 [/math] zwei Punkte auf dem Umkreis von [math] \triangle ABC [/math] mit Mittelpunkt [math] M [/math]. Weiterhin sei [math]\alpha [/math] der Schnittwinkel der beiden zugehörigen Simson-Geraden und [math] \beta=\angle P_1MP_2 [/math]. Dann gilt [math]2\alpha=\beta[/math].[1]

Simson-Gerade als Streckenhalbierende

Verbindet man den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks mit einem Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks, so wird diese Verbindungsstrecke von der zugehörigen Simson-Geraden halbiert.

Gegeben sind ein Dreieck [math] \triangle ABC [/math], ein Punkt [math] P [/math] auf seinem Umkreis und die zugehörige Simson-Gerade. Ist H der Höhenschnittpunkt von [math] \triangle ABC [/math], dann schneidet die Simson-Gerade die Strecke [math] \overline{HP} [/math] in [math] D [/math] und es gilt [math]|HD|=|DP| [/math]. Außerdem liegt [math] D [/math] auf dem Feuerbachkreis.[1][2]

Geradenschar

Lässt man den Simson-Pol [math] P [/math] auf dem Kreis wandern, dann besitzt die so entstehende Geradenschar von Simson-Geraden eine Deltoide, auch als Steiner-Hypozykloide bezeichnet, als Hüllkurve. [1][2]

Sonstiges

Besitzen zwei Dreiecke denselben Umkreis und ihre zugehörigen Simson-Geraden denselben Pol, so ist der Schnittwinkel der beiden Simson-Geraden unabhängig von der Wahl des Pols. Mit anderen Worten: Für alle Punkte [math]P[/math] auf dem gemeinsamen Umkreis der beiden Dreiecke ergibt sich ein gleich großer Schnittwinkel der beiden zugehörigen Simson-Geraden.

Beweis

Bewiesen wird: Liegt [math] P [/math] auf dem Umkreis von [math] \triangle ABC [/math], so liegen die Fußpunkte auf einer gemeinsamen Geraden. Dazu zeigt man, dass [math]\angle EFP + \angle PFD = 180^\circ[/math] gilt.

Die Fußpunkte [math]E[/math] und [math]F[/math] liegen auf dem Thaleskreis über [math][PA][/math]. Da Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über demselben Kreisbogen gleich groß sind, folgt

[math]\angle EFP = \angle EAP = 180^\circ - \angle PAC[/math].

Andererseits ist [math]PBCA[/math] voraussetzungsgemäß ein Sehnenviereck. Die gegenüberliegenden Winkel [math]\angle PAC[/math] und [math]\angle CBP[/math] dieses Vierecks ergänzen sich daher zu [math]180^\circ[/math]. Insgesamt ergibt sich also

[math]\angle EFP = \angle CBP[/math].

Die Punkte [math]D[/math] und [math]F[/math] liegen auf dem Thaleskreis über [math][PB][/math], sodass auch [math]PBDF[/math] ein Sehnenviereck ist. Ähnlich wie vorher schließt man [math]\angle PFD + \angle DBP = 180^\circ[/math]. Wegen [math]\angle DBP = \angle CBP[/math] erhält man daraus

[math]\angle PFD = 180^\circ - \angle CBP[/math].

Damit ist mit

[math]\angle EFP + \angle PFD = \angle CBP + (180^\circ - \angle CBP) = 180^\circ[/math]

die Behauptung bewiesen.

Bemerkung: Der angegebene Beweis bezieht sich auf die in der Skizze dargestellte Lage der Höhenfußpunkte. Liegen diese anders, muss die Begründung entsprechend variiert werden.

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Simson Lines." §2.5 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 41, 1967.
  2. 2,0 2,1 Eric W. Weisstein: Simson-Gerade (engl.) . In: MathWorld (englisch).

Literatur

Weblinks


Kategorien: Dreiecksgeometrie | Satz (Mathematik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Simsonsche Gerade (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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