Sekantensatz - LinkFang.de





Sekantensatz


Der Sekantensatz besagt: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt [math]P[/math], so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten, die sich in einem Punkt [math]P[/math] außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als [math]A[/math] und [math]D[/math] und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als [math]B[/math] und [math]C[/math], so gilt:

[math]\overline{AP} \cdot \overline{DP}= \overline{BP} \cdot \overline{CP}[/math]

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

[math]\overline{AP} : \overline{BP} = \overline{CP} : \overline{DP}[/math]

Beweisidee

Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die Dreiecke [math]APC[/math] und [math]BPD[/math] sind ähnliche Dreiecke, denn:

  1. Der Winkel [math]\varphi[/math] in Punkt [math]P[/math] ist beiden Dreiecken gemeinsam.
  2. Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne [math][AB][/math] ergibt [math]\gamma_1=\delta_1[/math].
[math]\triangle APC \sim \triangle BPD[/math] (Ähnlichkeitssatz WW)

Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

[math]\overline{AP} : \overline{BP} = \overline{CP} : \overline{DP}[/math].

Durch Multiplikation mit [math]\overline{BP} \cdot \overline{DP}[/math] erhält man:

[math]\overline{AP} \cdot \overline{DP}= \overline{BP} \cdot \overline{CP}[/math]

Literatur

  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-67643-0
  • Schupp, H.: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977), ISBN 3-506-99189-2, S.150

Kategorien: Kreisgeometrie

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Sekantensatz (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.