Sekans und Kosekans - LinkFang.de





Sekans und Kosekans


Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen. Der Sekans wird mit [math]\sec (x)[/math] bezeichnet, der Kosekans mit [math]\csc (x)[/math] oder [math]\operatorname{cosec} (x)[/math][1]. Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten:

[math]\overline{OT} = \sec(b) \qquad\qquad \overline{OK} = \csc(b)[/math]

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwertfunktion der Kosinusfunktion.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwertfunktion der Sinusfunktion:

[math] \sec (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm AK}} = \frac{c}{b} \qquad \qquad \csc (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm GK}} = \frac{c}{a} [/math]
[math]\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)} \qquad\qquad \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}[/math]

Eigenschaften

Graphen

Definitionsbereich

Sekans:    [math]-\infty \lt x \lt +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}[/math]
Kosekans:    [math]-\infty \lt x \lt +\infty \quad ; \quad x \ne n \cdot \pi\ ; \, n \in \mathbb{Z}[/math]

Wertebereich

[math] -\infty \lt f(x) \le -1 \quad ; \quad 1 \le f(x) \lt +\infty [/math]

Periodizität

Periodenlänge [math]2 \cdot \pi \,:\, f(x+2\pi) = f(x)[/math]

Symmetrien

Sekans:    Achsensymmetrie: [math]f(x) = f(-x)[/math]
Kosekans:    Punktsymmetrie: [math]f(-x) = -f(x)[/math]

Polstellen

Sekans:    [math]x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,;\,n\in\mathbb{Z}[/math]
Kosekans:    [math]x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}[/math]

Extremwerte

Sekans:    Minima:  [math]x = 2n \cdot \pi \,;\, n \in \mathbb{Z}[/math] Maxima:  [math]x = (2n - 1) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}[/math]
Kosekans:    Minima:  [math]x = \left( 2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}[/math] Maxima:  [math]x = \left( 2n - \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}[/math]

Nullstellen

Beide Funktionen haben keine Nullstellen.

Asymptoten

Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten.

Sprungstellen

Beide Funktionen haben keine Sprungstellen.

Wendepunkte

Beide Funktionen haben keine Wendepunkte.

Umkehrfunktionen

Sekans:

Auf einer halben Periodenlänge, z. B. [math]x \in [0 , \pi] [/math] ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):
[math]x = \arcsec (y)[/math]

Kosekans

Auf einer halben Periodenlänge, z. B. [math]x \in \left[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right] [/math] ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):
[math]x = \arccsc (y)[/math]

Reihenentwicklung

Sekans:

[math]\sec(x) = 4\pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(2k+1)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 } [/math]

Kosekans:

[math]\csc(x) = \frac{1}{x} - 2x \, \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k} {k^2\pi^2-x^2} = \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^k \, x}{x^2-k^2\pi^2} [/math]

Ableitung

Sekans:

[math]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{1}}{\cos(x)} = \frac{+\sin(x)}{\cos^2(x)} = + \sec(x) \cdot \tan(x) = + \frac{\sec^2(x)}{\csc(x)}[/math]

Kosekans

[math]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{1}}{\sin(x)} = \frac{-\cos(x)}{\sin^2(x)} = - \csc(x) \cdot \cot(x) = - \frac{\csc^2(x)}{\sec(x)}[/math]

Integral

Sekans:

[math]\int\sec(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}\right|=\ln\Big|\sec(x)+\tan(x)\Big|[/math]

Kosekans

[math]\int\csc(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\right|=\ln\left|\tan \left(\frac{x}{2} \right)\right|[/math]

Komplexes Argument

[math]\sec(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{2\cos(x)\cosh(y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{2\sin(x)\sinh(y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)} [/math]   mit [math] x,y \in \mathbb{R}[/math]

[math]\csc(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)} [/math]   mit [math] x,y \in \mathbb{R}[/math]

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 2008, ISBN 3-8171-2007-9, S. 1220 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Kategorien: Trigonometrische Funktion

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Sekans und Kosekans (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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