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Sehnenviereck


Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen, dem Umkreis des Vierecks. Folglich sind alle Seiten des Sehnenvierecks Sehnen des Umkreises. Üblicherweise meint man mit Sehnenviereck ein nicht überschlagenes Sehnenviereck, dieses ist notwendigerweise konvex.

Sätze über Sehnenvierecke (Auswahl)

Das Sehnenviereck wird mit ABCD bezeichnet.

  1. Sehnensatz: Die Produkte je zweier gegenüberliegender Diagonalenabschnitte sind gleich groß. Das heißt, wenn [math]P[/math] der Schnittpunkt der beiden Diagonalen [math]\overline{AC}[/math] und [math]\overline{BD}[/math] ist, so gilt [math]\overline{AP}\cdot\overline{CP}=\overline{BP}\cdot\overline{DP}[/math].

Die folgenden Sätze gelten nur für nicht überschlagene Sehnenvierecke ABCD:

  1. Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°, also [math]\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ[/math] (Nachweis weiter unten).
  2. Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen: [math]\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{BC}\cdot\overline{DA}=\overline{AC}\cdot\overline{BD}[/math].
Formeln zum Sehnenviereck
Flächeninhalt [math]A \, = \, \sqrt{(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}[/math]
Flächeninhalt [math]A \, = \, \frac{e \cdot (ab+cd)}{4R} = \frac{f \cdot (ad+bc)}{4R}[/math]
Seitenlängen [math]a,\,b,\,c,\,d[/math]
Halber Umfang [math]s \, = \, \frac{a+b+c+d}{2}[/math]
Diagonalenlängen [math]e = \overline{AC}=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\, , \, f=\overline{BD}=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}} [/math]
Umkreisradius [math]R=\frac{1}{4A}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)},[/math]

Die zuerst genannte Flächenformel ist eine Verallgemeinerung der Heron'schen Flächenformel für Dreiecke und wird auch als Satz von Brahmagupta oder Formel von Brahmagupta bezeichnet. Hierbei fasst man ein Dreieck als ein ausgeartetes Sehnenviereck auf, dessen vierte Seite die Länge 0 besitzt, d.h. zwei seiner Eckpunkte liegen aufeinander.

Ein Viereck (und jedes andere Vieleck auch) mit festen, geordneten Seitenlängen hat genau dann den größtmöglichen Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenviereck (bzw. -vieleck) ist.[1]

Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel 180°.

[math]\alpha + \gamma = 180^\circ [/math]
[math]\beta + \delta = 180^\circ [/math]

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu 360° ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu 360°/2 = 180° ergänzen.

Ein anderer Beweis findet sich im Beweisarchiv.

Die Umkehrung dieser Aussage stimmt auch, d.h. ist in einem Viereck die Summe gegenüberliegender Winkel 180°, so ist es ein Sehnenviereck.

Verwandte Vierecke

Ein Sehnenviereck, das gleichzeitig Trapez ist, heißt gleichschenkliges Trapez. Jedes Rechteck ist ein gleichschenkliges Trapez und damit ein Sehnenviereck.

Ein Viereck, das einen Inkreis hat, heißt Tangentenviereck.

Siehe auch

Quellen

Weblinks

 Wiktionary: Sehnenviereck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wikibooks: Beweis des Satzes des Ptolemäus – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

  1. Titu Andreescu, Oleg Mushkarov, Luchezar N. Stoyanov: Geometric Problems on Maxima and Minima. Birkhäuser, Boston u. a. 2006, ISBN 0-8176-3517-3, S. 69 (Auszug (Google) ).

Kategorien: Vierecksgeometrie | Viereck

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