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Sehnensatz


Der Sehnensatz ist ein Satz aus der Elementargeometrie und beschreibt eine Beziehung zwischen den Strecken, die von zwei sich schneidenden Kreissehnen gebildet werden.

Genauer besagt er:

Schneiden sich in einem Kreis zwei Sehnen in einem Punkt [math]S[/math], so ist das Produkt der dadurch gebildeten Abschnitte auf der einen Sehne gleich dem Produkt der Abschnitte auf der anderen Sehne.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen, die sich in einem Punkt [math]S[/math] schneiden. Die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne seien mit [math]A[/math] und [math]C[/math], die mit der anderen Sehne mit [math]B[/math] und [math]D[/math] bezeichnet. Dann gilt:

[math]\overline{AS} \cdot \overline{CS} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} [/math]

Bezeichnet man die Sehnenabschnitte wie in der Zeichnung mit [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] und [math]d[/math], so lautet die Aussage des Satzes:

[math] a \cdot c = b \cdot d[/math]

Die Aussage kann auch als Verhältnisgleichung formuliert werden:

[math]\overline{AS} : \overline{DS} = \overline{BS} : \overline{CS}[/math]

bzw.

[math] {a \over d}={b \over c}[/math]

Umkehrung

Es gilt auch die Umkehrung des Satzes: Wenn für die Diagonalen eines Vierecks [math]ABCD[/math] mit dem Diagonalenschnittpunkt [math]S[/math] gilt:

[math]\overline {AS} \cdot \overline {CS} = \overline {BS} \cdot \overline {DS}[/math]

dann besitzt dieses Viereck einen Umkreis.

Zusammenhang mit dem Höhensatz

Der Sehnensatz lässt sich auch als eine Verallgemeinerung des Höhensatzes von Euklid auffassen. Wählt man die beiden Sehnen nämlich so, dass eine von ihnen dem Durchmesser entspricht und die andere auf ihr senkrecht steht, so bilden deren Endpunkte mit den Endpunkten des Durchmessers nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und die Aussage des Sehnensatzes entspricht der des Höhensatzes von Euklid.

Siehe auch

Literatur

  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67643-0 (Springer-Lehrbuch).
  • Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 149 (Uni-Taschenbücher 669).
  • Schülerduden: Mathematik I, Dudenverlag, 8. Auflage, Mannheim 2008, S. 415-418

Weblinks


Kategorien: Kreisgeometrie

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