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Baryzentrum

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Mit Baryzentrum (von griechisch βαρύς (barys) für 'schwergewichtig', auch ‘Massenmittelpunkt’) bezeichnet man in der Geometrie den gewichteten Schwerpunkt mehrerer Punkte.[1] In der Himmelsmechanik sind die Gewichte der Punkte ihre Massen bzw. im Fall kontinuierlicher Masseverteilung die Dichte. Für eine formale Definition siehe Massenmittelpunkt.

In einem homogenen äußeren Gravitationsfeld ist das Baryzentrum auch das Gravizentrum, d. h. der mittlere Angriffspunkt der auf die Punkte wirkenden Kräfte. Im inhomogenen Feld gilt das nicht, die gesamte äußere Kraft darf man sich dann im Gravizentrum angreifend vorstellen. Da die Trägheitskraft nach dem Schwerpunktsatz im Baryzentrum „angreift“, kann ein Drehmoment entstehen.

In einem homogenen Feld oder ohne äußere Kräfte gilt: Ein nicht rotierendes Bezugssystem, in dem das Baryzentrum ruht, ist ein Inertialsystem, also besonders geeignet für die Beschreibung der Dynamik des Systems, siehe Baryzentrische Koordinaten. So wird in vielen Erdmodellen, z. B. WGS 84, das Baryzentrum der Erde als Nullpunkt der Koordinaten gewählt.

Zudem gilt für kugelsymmetrische Massenverteilungen, dass deren gemeinsames Gravitationsfeld so wirkt, als wäre die ganze Masse im Baryzentrum konzentriert, siehe Newtonsches Schalentheorem oder Birkhoff-Theorem. Für andere Massenverteilungen, wie die folgenden Mehrkörpersysteme, gilt das nur in großer Entfernung näherungsweise.

Baryzentrum im Zweikörpersystem

Aufgrund der Linearität der Mittelwertbildung darf man das Baryzentrum mehrerer Körper als das mit ihrer Masse gewichtete Mittel ihrer jeweiligen Baryzentren berechnen. Für ein System aus zwei kugelsymmetrischen Körpern ergibt sich, dass das gemeinsame Baryzentrum auf der Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte liegt, mit folgendem Abstand vom Mittelpunkt 1:

[math]r_1 = r_\mathrm{tot} \frac{m_2}{m_1 + m_2}[/math]

Die Variablen sind:

[math]r_1[/math] — die Entfernung des Baryzentrums vom Mittelpunkt des Körpers 1
[math]r_\mathrm{tot}[/math] — die Entfernung der beiden Körpermittelpunkte voneinander
[math]m_1[/math] und [math]m_2[/math] — die Massen der beiden Körper.

Beispiele

Erde und Mond

Für Erde und Mond liegt das Baryzentrum knapp innerhalb der Erde, siehe Erde-Mond-Schwerpunkt.

Pluto und Charon

Das Baryzentrum des Pluto-Charon-Systems liegt durch das relativ kleine Massenverhältnis von ca. 8/1 ca. 1200 km über Plutos Oberfläche. Dieses wird von Charon und von Pluto umkreist.

Sonnensystem

Die Lage des Baryzentrum des Sonnensystems hängt vor allem von der Stellung des Jupiters und des Saturns zueinander ab, siehe große Konjunktion. Die beiden Riesenplaneten besitzen 0,10 bzw. 0,03 Prozent der Masse der Sonne, sodass sie das Baryzentrum um diesen Bruchteil ihrer Bahnhalbachsen beeinflussen (um ca. 740.000 und 410.000 km). Da der Sonnenradius 696.000 km beträgt, liegt das Baryzentrum mal innerhalb, mal außerhalb der Sonnenoberfläche.

Es ist nicht nur der geometrische Ursprung des baryzentrischen ekliptikalen Koordinatensystems, sondern auch der Ort für eine virtuelle Atomuhr, die die Temps atomique barymetrique (TAB) definiert, siehe gravitative Zeitdilatation.

Einzelnachweise

  1. Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht. 4., überarbeitete Auflage, Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, doi:10.1007/978-3-658-06731-1 , eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
zh:质心

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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Baryzentrum (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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