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Schubmodul


Material Typische Werte für
den Schubmodul in GPa
(bei Raumtemperatur)[1]
Stahl 79,3
Kupfer 47
Titan 41,4
Glas 26,2
Aluminium 25,5
Magnesium 17
Polyethylen 0,117
Gummi 0,0003

Der Schubmodul [math]G[/math] (auch Gleitmodul, G-Modul, Schermodul oder Torsionsmodul) ist eine Materialkonstante, die Auskunft gibt über die linear-elastische Verformung eines Bauteils infolge einer Scherkraft oder Schubspannung. Die SI-Einheit ist Newton pro Quadratmeter (1 N/m² = 1 Pa), also die Einheit einer mechanischen Spannung. In Materialdatenbanken wird der Schubmodul üblicherweise in N/mm²(=MPa) oder kN/mm²(=GPa) angegeben.

Im Rahmen der Elastizitätstheorie entspricht der Schubmodul der zweiten Lamé-Konstanten und trägt dort das Symbol [math]\mu[/math].

Definition

Der Schubmodul beschreibt das Verhältnis zwischen der Schubspannung [math] \tau [/math] und dem Tangens des Schubwinkels [math]\gamma [/math] (Gleitung):

[math]\tau = G \cdot \tan \gamma[/math]

Für kleine Winkel [math]\gamma[/math] kann in erster Näherung [math]\tan \gamma \approx \gamma[/math] gesetzt werden (Kleinwinkelnäherung).

Diese Formel ist analog zum Hooke’schen Gesetz für den 1-achsigen Spannungszustand:

[math]\sigma = E \cdot \varepsilon[/math]

Bei Torsionsbelastung eines Bauteils berechnet sich seine Torsionssteifigkeit aus dem Schubmodul und dem Torsionsträgheitsmoment [math]I_{\mathrm{T}}[/math], das auf die Achse bezogen ist, um die der Körper tordiert wird:

[math]\mathrm{Steifigkeit_T} = G \cdot I_{\mathrm{T}},[/math]

analog zur Ermittlung der Dehnsteifigkeit (aus dem Produkt von Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche).

Zusammenhang mit anderen Materialkonstanten

Bei einem isotropen Material steht der Schubmodul mit dem Elastizitätsmodul E, der Querkontraktionszahl ν (Poissonzahl) und dem Kompressionsmodul K in folgender Beziehung:

[math]G = \frac{1}{2(1 + \nu)} \cdot E = \frac{3KE}{9K - E} = \frac{3(1 - 2 \nu)}{2(1 + \nu)} \cdot K[/math]

Für linear-elastisches, nicht-auxetisches Materialien ist die Poissonzahl größergleich Null. Aufgrund Energieerhaltung folgt die positiven Definiertheit von Kompressionsmodul und E-Modul. Daraus folgt, dass die Poissonzahl unter 0,5 liegt. [math]\left(0 \leq \nu \lt 0{,}5\right)[/math] Somit ergibt sich für den Schubmodul der meisten Materialien im linear-elastischen Bereich:

[math] \frac {1} {3} E \lt G \le \frac {1} {2} E[/math]

Auxetische Materialien sind so definiert, dass sie eine negative Poissonzahl haben, was nur bei wenigen Materialien der Fall ist. Da der Schubmodul aufgrund der Energieerhaltung eine positiv definierte Größe hat, gilt für auxetische Materialien im linear-elastischen Bereich:

[math] \frac {1} {2} E \lt G_\mathrm{aux} \lt + \infty[/math]

Da auch der E-Modul positiv definiert ist, ergibt sich für die Poissonzahl der Gültigkeitsbereich [math]-1 \lt \nu_\mathrm{aux} \lt 0.[/math]

Umrechnung

Umrechnungsformeln
[math](K,\,E)[/math] [math](K,\,\lambda)[/math] [math](K,\,G)[/math] [math](K,\, \nu)[/math] [math](E,\,G)[/math] [math](E,\,\nu)[/math] [math](\lambda,\,G)[/math] [math](G,\,\nu)[/math] [math](G,\,M)[/math]
Kompressionsmodul [math]K=\,[/math] [math]K[/math] [math]K[/math] [math]K[/math] [math]K[/math] [math]\tfrac{EG}{3(3G-E)}[/math] [math]\tfrac{E}{3(1-2\nu)}[/math] [math]\lambda+ \tfrac{2G}{3}[/math] [math]\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}[/math] [math]M - \tfrac{4G}{3}[/math]
Elastizitätsmodul [math]E=\, [/math] [math]E[/math] [math]\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}[/math] [math]\tfrac{9KG}{3K+G}[/math] [math]3K(1-2\nu)\,[/math] [math]E[/math] [math]E[/math] [math]\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}[/math] [math]2G(1+\nu)\,[/math] [math]\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}[/math]
Lamé-Konstanten [math]\lambda=\,[/math] [math]\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}[/math] [math]\lambda[/math] [math]K-\tfrac{2G}{3}[/math] [math]\tfrac{3K\nu}{1+\nu}[/math] [math]\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}[/math] [math]\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}[/math] [math]\lambda[/math] [math]\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}[/math] [math]M - 2G\,[/math]
Schubmodul [math]G=\, [/math] [math]\tfrac{3KE}{9K-E}[/math] [math]\tfrac{3(K-\lambda)}{2}[/math] [math]G[/math] [math]\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}[/math] [math]G[/math] [math]\tfrac{E}{2(1+\nu)}[/math] [math]G[/math] [math]G[/math] [math]G[/math]
Poissonzahl [math]\nu=\,[/math] [math]\tfrac{3K-E}{6K}[/math] [math]\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}[/math] [math]\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}[/math] [math]\nu[/math] [math]\tfrac{E}{2G}-1[/math] [math]\nu[/math] [math]\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}[/math] [math]\nu[/math] [math]\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}[/math]
Longitudinalmodul [math]M=\,[/math] [math]\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}[/math] [math]3K-2\lambda\,[/math] [math]K+\tfrac{4G}{3}[/math] [math]\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}[/math] [math]\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}[/math] [math]\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}[/math] [math]\lambda+2G\,[/math] [math]\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu} [/math] [math]M[/math]
Durch zwei beliebige verschiedene Moduln sind die elastischen Eigenschaften von linear-elastischen, homogenen, isotropen Materialien eindeutig bestimmt.

Siehe auch

Weblinks

Quellen

  1. Crandall, Dahl, Lardner: An Introduction to the Mechanics of Solids. McGraw-Hill, 1959.

Kategorien: Werkstoffeigenschaft | Festigkeitslehre

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Schubmodul (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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