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Schatten-Klasse


Die Schatten-Klassen, benannt nach Robert Schatten, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen [math]\ell^p[/math] gemeinsam.

Definition

Ist [math]T\colon H\rightarrow G[/math] ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab) Hilberträumen, so gibt es eine monoton fallende Folge [math](s_n)_n[/math] nicht-negativer reeller Zahlen mit [math]s_n\rightarrow 0[/math] und orthonormale Folgen [math](e_n)_n[/math] in [math]H[/math] und [math](f_n)_n[/math] in [math]G[/math], sodass

  • [math]\textstyle Tx = \sum_{n=1}^\infty s_n\langle x,e_n\rangle f_n[/math] für alle [math]x\in H[/math] gilt und
  • die Operatoren [math]\textstyle \sum_{n=1}^N s_n\langle\cdot, e_n\rangle f_n[/math] für [math]N\to\infty[/math] in der Operatornorm gegen [math]T[/math] konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge [math](s_n)_n[/math] ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch [math]T[/math] bestimmt. Man schreibt daher [math]s_n(T)[/math] für das [math]n[/math]-te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den [math]n[/math]-ten singulären Wert von [math]T[/math]. Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators [math]T^*T\in L(H)[/math] bilden.

Für [math]1\le p \lt \infty[/math] ist die p-te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von [math]H[/math] nach [math]G[/math] durch

[math]{\mathcal S}_p(H,G)\, := \,\{T:H\rightarrow G;\, T\,{\rm kompakt},\, (s_n(T))_n \in \ell^p\}[/math]

definiert. Dabei ist [math]\ell^p[/math] der Folgenraum der zur [math]p[/math]-ten Potenz summierbaren Folgen. Für [math]T\in {\mathcal S}_p(H,G)[/math] definiert man die [math]p[/math]-Norm des Operators gerade durch diese Norm auf der Folge:

[math]\|T\|_p := (\sum_{n=1}^\infty s_n(T)^p)^{\frac{1}{p}}[/math]

Die [math]p[/math]-Norm des Operators ist also genau die [math]\ell^p[/math]-Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall [math]G=H[/math] schreibt man abkürzend [math]{\mathcal S}_p(H) := {\mathcal S}_p(H,H)[/math]. Oftmals nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle

Für [math]p=1[/math] entspricht der Raum [math]{\mathcal S}_1(H,G)[/math] der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für [math]p=2[/math] entspricht [math]{\mathcal S}_2(H,G)[/math] dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften

  • Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den [math]\ell^p[/math]-Räumen gemeinsam. [math]{\mathcal S}_p(H)[/math] ist mit der [math]p[/math]-Norm ein Banachraum. Für [math]p\le q[/math] gilt [math]\|\cdot\|_p \ge \|\cdot\|_q[/math] und daher [math]{\mathcal S}_p(H)\subset {\mathcal S}_q(H)[/math]. Ferner gilt stets [math]\|T\| \le \|T\|_p[/math], wobei [math]\|T\|[/math] die Operator-Norm von [math]T[/math] ist.
  • [math]{\mathcal S}_p(H)[/math] ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind [math]T\in {\mathcal S}_p(H)[/math] und [math]A,B \in L(H)[/math] stetige lineare Operatoren auf [math]H[/math], so ist [math]ATB\in {\mathcal S}_p(H)[/math] und es gilt [math]\|ATB\|_p \le \|A\| \|T\|_p \|B\|[/math]. Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in [math]L(H)[/math].
  • Seien [math]1 \lt p,q \lt \infty[/math] mit [math]\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} = 1[/math] konjugierte Zahlen. Sind dann [math]T\in {\mathcal S}_p(H)[/math] und [math]S\in {\mathcal S}_q(H)[/math], so ist das Produkt [math]TS[/math] ein Spurklasse-Operator und es gilt [math]Sp(TS) \le \|T\|_p\|S\|_q[/math]. Jedes [math]S\in {\mathcal S}_q(H)[/math] definiert daher durch [math]T\mapsto Sp(TS)[/math] ein stetiges lineares Funktional [math]\psi_S[/math] auf [math]{\mathcal S}_p(H)[/math]. Man kann zeigen, dass die Abbildung [math]S\mapsto \psi_S[/math] ein isometrischer Isomorphismus von [math]{\mathcal S}_q(H)[/math] auf den Dualraum von [math]{\mathcal S}_p(H)[/math] ist, oder kurz [math]{\mathcal S}_p(H)\,' \cong {\mathcal S}_q(H)[/math]. Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für [math]1\ltp\lt\infty[/math] reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für [math]{\mathcal S}_1(H)[/math] nicht der Fall. Die Verhältnisse für [math]{\mathcal S}_1(H)[/math] sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Quellen

  • R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
  • Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8.

Kategorien: Normierter Raum

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Schatten-Klasse (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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