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Satz von Weyl über Gleichverteilung


Der Satz von Weyl (nach Hermann Weyl) ist die Grundlage für arithmetische Zufallszahlengeneratoren. Er besagt:

Sei [math]y_0 \in \ ]0, 1[[/math] eine irrationale Zahl. Dann hat die Folge

[math](u_i)_{i \ge1} \subseteq \ ]0, 1[[/math],

gliedweise definiert durch

[math]u_i = i y_0 - \lfloor i y_0 \rfloor = i y_0 \ \bmod \ 1[/math]

die asymptotische Gleichverteilungseigenschaft. Für alle [math]a,b \in \mathbb{R}[/math] mit [math] 0 \lt a \lt b \lt 1 [/math] gilt also:

[math] \frac{ \left| \{ i | 1 \le i \le n; a \le u_i \le b \} \right| }{n} \quad \xrightarrow[n \rightarrow \infty] \quad \quad b - a [/math].

Anders gesagt: die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich gewähltes Folgenglied in [math][a,b] [/math] liegt, beträgt [math]b-a[/math].


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