Der Satz von Schwarz (nach Hermann Amandus Schwarz; wird auch Satz von Clairaut genannt; oder auch Young-Theorem) ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er besagt, dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist.
Tatsächlich leitet er zusätzlich aus der Existenz der beispielsweise partiellen ersten Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer weiteren partiellen zweiten Ableitung her.
Der Satz von Schwarz ist nicht zu verwechseln mit dem Schwarzschen Lemma.
Sei [math]U \subseteq \mathbb{R}^n[/math] eine offene Menge sowie [math]f\colon U \to \mathbb{R}[/math] mindestens [math]p[/math]-mal partiell differenzierbar und sind alle [math]p[/math]-ten partiellen Ableitungen in [math]U[/math] zumindest noch stetig, so ist [math]f[/math] [math]p[/math]-mal total differenzierbar und insbesondere ist die Reihenfolge der Differentiation in allen [math]q[/math]-ten partiellen Ableitungen mit [math]q \le p[/math] unerheblich.[1]
Insbesondere für [math]n=2[/math] und [math]p \geq 2[/math] gilt also
Der Satz gilt schon unter leicht schwächeren Voraussetzungen: Es genügt, dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind.[2]
Mögliche Schreibweisen ohne Klammern sind
Wenn man die partielle Differentiation selbst als Abbildung von [math]C^{2}(U,\mathbb{R})[/math] nach [math]C^{1}(U,\mathbb{R})[/math] und von [math]C^{1}(U,\mathbb{R})[/math] nach [math]C^{0}(U,\mathbb{R})[/math] auffasst, kann man noch kürzer schreiben:
Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.
Fasst man [math]f \in C^2(U,\mathbb{R})[/math] als differenzierbare 0-Form auf und schreibt [math]d[/math] für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die Form [math]d(df)=0[/math] bzw. auch einfach nur [math]dd=0[/math].
Für [math]U \subseteq \R^3[/math] lässt sich das auch wie folgt formulieren: Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null: [math] \operatorname{rot} (\operatorname{grad} f) = 0[/math], oder mit Nabla-Symbol geschrieben: [math]\vec\nabla \times \vec \nabla f = \vec 0[/math]. Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei.
Gegeben sei die Funktion [math]f: \mathbb R^2 \to \mathbb R[/math] durch [math]f(x,y)=e^{x^2} \sin{y}.[/math] Es ergibt sich für die ersten partiellen Ableitungen
und für die beiden zweiten partiellen Ableitungen [math]f_{xy}[/math] und [math]f_{yx}[/math]
Es ist zu erkennen, dass gilt [math]f_{xy}=f_{yx}.[/math]
Ohne die Stetigkeit der zweiten Ableitungen gilt der Satz im Allgemeinen tatsächlich nicht. Ein Gegenbeispiel, bei dem die Vertauschbarkeit nicht gilt, ist die Funktion [math]f \colon \R^2 \to \R[/math] mit [math]f(0,0) = 0[/math] und
Bei dieser Funktion existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz [math]\R^2[/math], aber es gilt[3]