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Satz von Rolle


Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung.

Aussage

Seien [math]a \lt b[/math] und [math]f:[a,b]\to\R[/math] eine stetige Funktion, die im offenen Intervall [math](a,b)[/math] differenzierbar ist. Erfüllt sie [math]f(a) = f(b)[/math], so gibt es eine Stelle [math]x_0\in(a,b)[/math] mit

[math]f '(x_0) = 0[/math].

Interpretation

Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion [math]f[/math] gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden y-Werten mindestens einen Kurvenpunkt mit der Steigung m = 0, also mit waagrechter Tangente. Der Satz besagt damit insbesondere, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt.

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist eine Erweiterung des Satzes von Rolle. Der Mittelwertsatz lässt sich mit Hilfe des Satzes von Rolle beweisen.

Beweis

Da [math]f[/math] über dem kompakten Intervall [math][a, b][/math] stetig ist, nimmt sie (nach dem Satz von Weierstraß) an einer Stelle [math]m\in[a,b][/math] ein Minimum und an einer Stelle [math]M\in[a, b][/math] ein Maximum an. Ist [math]f[/math] nicht konstant, so muss wegen [math]f(a) = f(b)[/math] mindestens [math]m\in(a,b)[/math] oder [math]M\in(a,b)[/math] gelten. Diese Extremalstelle sei mit [math]x_0[/math] bezeichnet. Ist [math]f[/math] konstant, so ist [math]x_0=\frac{a+b}2[/math] eine Extremalstelle im Inneren des Intervalls [math](a,b)[/math].

Ist die innere Extremalstelle [math]x_0[/math] eine Maximalstelle, so folgt aus der Differenzierbarkeit von [math]f[/math] an der Stelle [math]x_0[/math], dass

[math]f'(x_0)=\lim_{h\searrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\leq 0[/math]
[math]f'(x_0)=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\geq 0[/math]

Somit ist [math]f'(x_0)=0[/math].

Ist [math]x_0[/math] eine Minimalstelle von [math]f[/math], so ist [math]x_0[/math] eine Maximalstelle von [math]-f[/math] und wir erhalten [math]-f'(x_0)=0[/math] und somit [math]f'(x_0)=0[/math].

Literatur

Weblinks

 Commons: Rolle's theorem  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Kategorien: Analysis | Satz (Mathematik)

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