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Satz von Lindemann-Weierstraß


Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl [math]e[/math] und der Kreiszahl [math]\pi[/math] folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß.

Aussage

Seien [math]\alpha_1, \dots, \alpha_n[/math] paarweise verschiedene algebraische Zahlen und seien [math]\beta_1, \dots, \beta_n[/math] beliebige algebraische Zahlen, wobei nicht alle [math]\beta_k = 0[/math] seien. Dann gilt:

[math]\beta_{1}e^{\alpha_{1}} + \cdots + \beta_{n}e^{\alpha_{n}} \ne 0[/math].

Diesen sehr allgemeinen Satz bewies von Lindemann, um die deutlich schwächeren Resultate der Transzendenz der eulerschen Zahl [math]e[/math] und der Kreiszahl [math]\pi[/math] zu zeigen. In den 1960er Jahren wurde von Stephen Schanuel eine Verallgemeinerung dieses Satzes als Vermutung formuliert, siehe Vermutung von Schanuel.

Kurze Zeit nach dem Beweis des Satzes von Lindemann-Weierstraß legte David Hilbert einen deutlich vereinfachten Beweis für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen [math]e[/math] und [math]\pi[/math] vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt.

Folgerungen

Diese Ergebnisse folgen direkt aus dem obigen Satz.

Transzendenz von e

Wäre [math]e[/math] eine algebraische Zahl, so existierten [math]\beta_0, \dots, \beta_n[/math] nicht allesamt null, so dass

[math]\beta_{n}e^{n} + \cdots + \beta_{1}e^{1} + \beta_{0}e^{0} = 0\; ,[/math]

was ein offensichtlicher Widerspruch zum obigen Ergebnis wäre.

Transzendenz von π

Um die Transzendenz der Kreiszahl [math]\pi[/math] zu zeigen, nehmen wir zunächst an, dass [math]\pi[/math] eine algebraische Zahl ist. Da die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bildet, müsste auch [math]\pi i[/math] algebraisch sein ([math]i[/math] bezeichnet hier die imaginäre Einheit).

Wählen wir nun [math]\beta_1=\beta_2=1[/math] und [math]\alpha_1=\pi i[/math], [math]\alpha_2=0[/math], so erhalten wir mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß und der eulerschen Identität den Widerspruch

[math]0 \ne e^{\pi i} + e^{0} = -1 + 1 = 0.[/math]

Dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, die Kreiszahl [math]\pi[/math] muss also transzendent sein.

Literatur


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Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Satz von Lindemann-Weierstraß (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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