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Satz von Heine


Der Satz von Heine (nach Eduard Heine; oder auch Satz von Heine-Cantor) aus der reellen Analysis macht eine Aussage über stetige Funktionen. Er wurde 1872 von Eduard Heine bewiesen[1] und nach ihm benannt, nach Aussage von Jürgen Heine wurde diese Tatsache jedoch schon zuvor von Karl Weierstraß entdeckt.[2]

Aussage

Ist eine Funktion [math]f[/math] im kompakten Intervall [math][a,b][/math] stetig, dann ist sie dort sogar gleichmäßig stetig.

Mit anderen Worten: Zu einem beliebigen [math]\varepsilon \gt 0[/math] existiert ein [math]\delta = \delta(\varepsilon) \gt 0[/math] derart, dass für zwei beliebige Stellen [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math] aus dem Intervall [math][a,b][/math] mit [math]|x_2 - x_1| \lt \delta[/math] gilt:

[math]|f(x_2) - f(x_1)| \lt \varepsilon.[/math]

Beweis

Ein typischer Beweis erfolgt durch Widerspruch. Ist [math]f[/math] nicht gleichmäßig stetig, so gibt es ein [math]\varepsilon \gt 0[/math] und zu jedem [math]n \in \mathbb{N}[/math] Punkte [math]x_n, x_n' \in [a,b][/math], so dass

[math]\left | x_n - x_n' \right | \lt \frac{1}{n}[/math] und [math]\left | f(x_n) - f(x_n') \right | \geq \varepsilon.[/math]

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die beschränkte Folge [math](x_n)_{n\in\mathbb{N}}[/math] eine konvergente Teilfolge [math](x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}[/math], deren Grenzwert [math]x[/math] im Intervall [math][a,b][/math] enthalten ist. Dieser ist wegen

[math]\left |x_{n_k} - x_{n_k}' \right | \lt \frac{1}{n_k}[/math]

ebenfalls Grenzwert der Folge [math](x_{n_k}')_{k\in\mathbb{N}}[/math]. Aus der Stetigkeit von [math]f[/math] folgt [math]f(x_{n_k})\to f(x)[/math] und [math]f(x_{n_k}')\to f(x)[/math]. Daher gibt es ein [math]k_0[/math], so dass [math]\left | f(x_{n_k}) - f(x) \right | \lt \varepsilon/2[/math] und [math]\left | f(x_{n_k}') - f(x) \right | \lt \varepsilon/2[/math] für alle [math]k\ge k_0[/math]. Daraus folgt nun

[math]\left | f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}') \right | = \left | (f(x_{n_k}) - f(x)) +(f(x) - f(x_{n_k}')) \right | \leq \left | (f(x_{n_k}) - f(x))\right | + \left |(f(x) - f(x_{n_k}')) \right | \lt\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon [/math] für alle [math]k\ge k_0[/math],

im Widerspruch zu [math]\left |f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}') \right | \geq \varepsilon[/math] für alle [math]k[/math]. Daher war die gemachte Annahme falsch und es folgt die gleichmäßige Stetigkeit.

Verallgemeinerung

Mit einem nahezu identischen Beweis verallgemeinert sich dieser Satz auf kompakte metrische Räume:

Ist [math]K[/math] ein kompakter metrischer Raum, [math]M[/math] ein metrischer Raum und [math]f:K\rightarrow M[/math] stetig, so ist [math]f[/math] gleichmäßig stetig.

Gegenbeispiel

Für nicht-kompakte Intervalle ist der Satz von Heine falsch. Die Funktion [math]f:(0,1]\rightarrow \R[/math], [math]x \mapsto \tfrac{1}{x}[/math] ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. In der Tat gibt es zu [math]\varepsilon=1[/math] kein [math]\delta \gt0[/math], das die Bedingung der gleichmäßigen Stetigkeit erfüllt. Ist nämlich [math]\delta\gt0[/math] beliebig, so gibt es [math]n\in\N[/math] mit [math]\tfrac{1}{n} \lt \delta[/math]. Dann folgt

[math]\left|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n(n+1)} \lt \delta[/math],

aber

[math]\left|f\left(\frac{1}{n+1}\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = |(n+1)-n| = 1 \ge \varepsilon[/math].

Also kann [math]f[/math] nicht gleichmäßig stetig sein.

Einzelnachweise

  1. E. Heine: Die Elemente der Funktionenlehre. Journal für die Mathematik von C.W. Borchardt, LXXIV:172-188, Berlin 1872
  2. J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-24914-2.

Kategorien: Analysis | Satz (Mathematik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Satz von Heine (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

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