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Satz von Gauß-Markow


Der Satz von Gauß-Markow ist ein mathematischer Satz aus dem Bereich der Statistik. Er ist nach den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und Andrei Andrejewitsch Markow benannt.

In Worten lautet dieser Satz: Der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist ein minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer in einem linearen Modell, wenn die zufälligen Fehler (nicht-erklärten Abweichungen):

Mathematisch kann dies auf folgende Weise wiedergegeben werden: Voraussetzung ist, dass man ein Lineares Modell in der Form

[math]\boldsymbol Y = \boldsymbol X \boldsymbol \beta + \boldsymbol \varepsilon[/math]

vorliegen hat, wobei [math]\boldsymbol Y[/math] und [math]\boldsymbol \varepsilon[/math] jeweils [math]n[/math]-dimensionale Zufallsvariable seien (siehe Regressionsanalyse). Hierbei nimmt man von der Datenmatrix [math]\boldsymbol X \in \mathbb{R}^{n \times p}[/math] an, dass sie vollen (Spalten-)Rang hat, das heißt, es gilt [math]\mbox{Rang}(\boldsymbol{X})=p \;[/math] bzw. [math]\det(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}) \gt 0[/math]. Für den Erwartungswert der Fehler nimmt man an, dass [math]E(\boldsymbol{\varepsilon})=0 \;[/math] ist. Ferner erwartet man für die Kovarianzmatrix der Fehler, dass [math]\mbox{Cov}(\boldsymbol{\varepsilon})=\sigma^2 I_n[/math] gilt.

Damit erhält man:

  1. [math]\boldsymbol b = (\boldsymbol {X}^T \boldsymbol X )^{-1} \boldsymbol {X}^T \boldsymbol y [/math] ist BLUE für [math]\boldsymbol \beta[/math],
  2. [math]\mbox{Cov}(\boldsymbol{b})=\sigma^2 (\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X})^{-1}[/math],
  3. [math]s^2 = \frac{1}{(n-p)} SS_\mathrm{Res}\, [/math] ist unverzerrter Schätzer für [math]\sigma^2[/math],

wobei [math]SS_\mathrm{Res} \,[/math] die Quadratsumme der Residuen (engl. Residual Sum of Squares) bezeichnet.

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