Satz von Ceva - LinkFang.de





Satz von Ceva


Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage über Dreieckstransversalen, die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647 bis 1734) 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies.

In einem Dreieck ABC seien [AD], [BE] und [CF] drei Ecktransversalen (also Verbindungsstrecken zwischen einer Ecke und einem Punkt auf der gegenüber liegenden Seite beziehungsweise deren Verlängerung), die sich in einem Punkt O innerhalb oder außerhalb des Dreiecks schneiden. Dann gilt:

[math]TV(A,B,F) \cdot TV(B,C,D) \cdot TV(C,A,E) = 1[/math]

Hierbei ist [math]TV(U,V,W)[/math] das (orientierte, also eventuell negative) Teilverhältnis von [math]U,V,W[/math], was für drei auf einer Gerade liegenden Punkte [math]U,V,W[/math] mit [math]W \neq V[/math] definiert wird durch [math]\overrightarrow{UW} = TV(U,V,W) \cdot \overrightarrow{WV}[/math]. Wenn [math]W[/math] zwischen [math]U[/math] und [math]V[/math] liegt, ist das genannte Teilverhältnis gleich [math]\overline{UW}/\overline{WV}[/math], andernfalls gleich [math]-\overline{UW}/\overline{WV}[/math].

Die oben angegebene Gleichung lässt sich mithilfe des Satzes von Menelaos beweisen.

Umgekehrt kann aus der Richtigkeit dieser Gleichung gefolgert werden, dass sich die Geraden AD, BE und CF in einem Punkt schneiden. Diese Umkehrung des Satzes von Ceva wird häufig in der Dreiecksgeometrie für Beweise aus dem Themenbereich "Ausgezeichnete Punkte im Dreieck" verwendet.

Wenn die Gleichung gilt, folgt daraus auch:

[math]\overline{AF} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CE} = \overline{AE} \cdot \overline{BF} \cdot \overline{CD}[/math]

Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Menelaos.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Ceva ist der Satz von Routh.

Weblinks

 Commons: Ceva's theorem  – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Kategorien: Dreiecksgeometrie | Satz (Mathematik)

Quelle: Wikipedia - http://de.wikipedia.org/wiki/Satz von Ceva (Vollständige Liste der Autoren des Textes [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Änderungen: Alle Bilder mit den meisten Bildunterschriften wurden entfernt. Ebenso alle zu nicht-existierenden Artikeln/Kategorien gehenden internen Wikipedia-Links (Bsp. Portal-Links, Redlinks, Bearbeiten-Links). Entfernung von Navigationsframes, Geo & Normdaten, Mediadateien, gesprochene Versionen, z.T. ID&Class-Namen, Style von Div-Containern, Metadaten, Vorlagen, wie lesenwerte Artikel. Ansonsten sind keine Inhaltsänderungen vorgenommen worden. Weiterhin kann es durch die maschinelle Bearbeitung des Inhalts zu Fehlern gerade in der Darstellung kommen. Darum würden wir jeden Besucher unserer Seite darum bitten uns diese Fehler über den Support mittels einer Nachricht mit Link zu melden. Vielen Dank!

Stand der Informationen: August 201& - Wichtiger Hinweis: Da die Inhalte maschinell von Wikipedia übernommen wurden, ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.de nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein, bitten wir Sie darum uns per Support oder E-Mail zu kontaktieren. Wir werden uns dann innerhalb von spätestens 10 Tagen um Ihr Anliegen kümmern. Auch ohne Anliegen erfolgt mindestens alle drei Monate ein Update der gesamten Inhalte.